曲线的参数方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．

（1）写出直线l的参数方程；

（2）设l与圆（θ是参数）相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

正确答案

解：（1）直线的参数方程为，即．（2分）

（2）由（1）得直线l的参数方程为（t为参数）．（3分）

曲线的普通方程为x2+y2=4．（6分）

把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得

t2+（ +1）t-2=0，

∴t1t2=-2，（8分）

∴点P到A，B两点的距离之积为2．（10分）

解析

解：（1）直线的参数方程为，即．（2分）

（2）由（1）得直线l的参数方程为（t为参数）．（3分）

曲线的普通方程为x2+y2=4．（6分）

把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得

t2+（ +1）t-2=0，

∴t1t2=-2，（8分）

∴点P到A，B两点的距离之积为2．（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知圆C的参数方程为（α为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=2，则直线l与圆C的交点的直角坐标为______．

正确答案

解：圆C的参数方程为（α为参数）化为（x-1）2+y2=4．

直线l的极坐标方程为ρsinθ=2，化为y=2．

联立，解得．

则直线l与圆C的交点的直角坐标为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

解析

解：圆C的参数方程为（α为参数）化为（x-1）2+y2=4．

直线l的极坐标方程为ρsinθ=2，化为y=2．

联立，解得．

则直线l与圆C的交点的直角坐标为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

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题型：简答题

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简答题

（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知直线l的参数方程（t为参数），圆C的极坐标方程：ρ+2sinθ=0．

（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）在圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．

正确答案

解：（1）消去参数t，得直线l的普通方程为y=-x+1+2，

ρ+2sinθ=0，两边同乘以ρ得ρ2+2ρsinθ=0，

得⊙C的直角坐标方程为x2+（y+1）2=1；

（2）设所求的点为P（cosθ，-1+sinθ），

则P到直线l的距离d===，

当θ=+2kπ，k∈Z，sin（θ+）=1，d取得最小值，

此时点P的坐标为（，-）．

解析

解：（1）消去参数t，得直线l的普通方程为y=-x+1+2，

ρ+2sinθ=0，两边同乘以ρ得ρ2+2ρsinθ=0，

得⊙C的直角坐标方程为x2+（y+1）2=1；

（2）设所求的点为P（cosθ，-1+sinθ），

则P到直线l的距离d===，

当θ=+2kπ，k∈Z，sin（θ+）=1，d取得最小值，

此时点P的坐标为（，-）．

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题型：简答题

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简答题

已知直线C1的方程为（t为参数，α∈[0，π）且α为常数），曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ，当曲线C1被曲线C2截得的线段长为且0＜α＜时，求常数α的值．

正确答案

解：由曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ，化为ρ2=6ρcosθ+8ρsinθ，

∴x2+y2=6x+8y，∴（x-3）2+（y-4）2=25，可得圆心C2（3，4），半径r=5．

由直线C1的方程为消去参数t可得xtanα-y+16-8tanα=0．

∴圆心C2（3，4）到直线C1的距离d==，

∵，

∴=，

化为tan2α-240tanα+239=0，

解得tanα=1或tanα=239．

∵α∈[0，π）且0＜α＜时，

∴α=．

解析

解：由曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ，化为ρ2=6ρcosθ+8ρsinθ，

∴x2+y2=6x+8y，∴（x-3）2+（y-4）2=25，可得圆心C2（3，4），半径r=5．

由直线C1的方程为消去参数t可得xtanα-y+16-8tanα=0．

∴圆心C2（3，4）到直线C1的距离d==，

∵，

∴=，

化为tan2α-240tanα+239=0，

解得tanα=1或tanα=239．

∵α∈[0，π）且0＜α＜时，

∴α=．

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题型：单选题

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单选题

把曲线C1：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2为（　　）

A12x2+4y2=1

B4x2=1

Cx2+=1

D3x2+4y2=4

正确答案

B

解析

解：根据题意，曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2：

（θ为参数），

消去参数，化为直角坐标方程是

4x2+=1．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

已知圆C的参数方程为（α为参数）．

（1）在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

（2）已知A（0，-2）、B（2，0），M为圆C上任意一点，求△ABM面积的最大值．

正确答案

解：（1）根据圆C的参数方程为（α为参数）得

（x-2）2+（y-2）2=1，

∴该圆的普通方程为：（x-2）2+（y-2）2=1，

∴x2+y2-4x-4y+15=0，

∴ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+15=0，

∴圆C的极坐标方程：ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+15=0，

（2）∵A（0，-2）、B（2，0），

∴直线AB的方程为：，

∴x-y-2=0，

圆心到直线的距离d==＞1，

∴直线AB与圆相离，

∵|AB|=，

∴S△ABM=|AB|×d（d为点M到直线的距离），

当d取+1时，此时所求面积最大，

最大面积为2+．

解析

解：（1）根据圆C的参数方程为（α为参数）得

（x-2）2+（y-2）2=1，

∴该圆的普通方程为：（x-2）2+（y-2）2=1，

∴x2+y2-4x-4y+15=0，

∴ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+15=0，

∴圆C的极坐标方程：ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+15=0，

（2）∵A（0，-2）、B（2，0），

∴直线AB的方程为：，

∴x-y-2=0，

圆心到直线的距离d==＞1，

∴直线AB与圆相离，

∵|AB|=，

∴S△ABM=|AB|×d（d为点M到直线的距离），

当d取+1时，此时所求面积最大，

最大面积为2+．

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题型：填空题

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填空题

选做题（请考生从以下三个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．）

A（坐标系与参数方程选讲选做题）直线l：（t为参数）被曲线C：（θ为参数）所截得的弦长为______．

B（不等式选讲选做题）若存在实数x满足|x-3|+|x-m|＜5，则实数m的取值范围为______．

C（几何证明选讲选做题）若一直角三角形的内切圆与外接圆的面积分别π与9π，则该三角形的面积为______．

正确答案

2

-2＜m＜8

7

解析

解：A 直线l：（t为参数）即，即 3x-4y-8=0．

曲线C：（θ为参数）化为直角坐标方程为（x-5）2+（y-3）2=4，表示以（5，3）为圆心，以2为半径的圆．

圆心到直线的距离等于 =1，由弦长公式求得弦长为2=2，

故答案为 2．

B 由于存在实数x满足|x-3|+|x-m|＜5，而|x-3|+|x-m|表示数轴上的x对应点到3和m对应点的距离之和，其最小值为|m-3|，

故|m-3|＜5，解得-2＜m＜8，

故答案为-2＜m＜8．

C 设R，r分别为Rt△ABC的外接圆半径和内切圆半径，则由直角三角形的内切圆与外接圆的面积分别π与9π可得 πr2=π，πR2=9π，

解得 r=1，R=3．

设两直角边分别为a，b，则由圆的切线性质可得斜边为 a-r+b-r==2R=6，∴a+b=8．

故三角形的面积等于 ==7，

故答案为 7．

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题型：填空题

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填空题

已知直线（t∈R），以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴（单位长度不变）的极坐标系中，圆的方程为ρ=4cosθ．若圆与直线相交于A、B，则以AB为直径的圆的面积为______．

正确答案

π

解析

解：圆的方程为ρ=4cosθ，直角坐标方程得（x-2）2+y2=4，

把直线（t∈R）代入上述圆的方程得（t-1）2+（4-2t）2=4，

化为5t2-18t+13=0，解得t1=，t2=1．

由t几何意义可得|AB|=|t1-t2|=|-1|=．

∴以AB为直径的圆的面积S=π×=π．

故答案为：π．

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题型：单选题

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单选题

双曲线C：（φ为参数）的一个焦点为（　　）

A（3，0）

B（4，0）

C（5，0）

D（0，5）

正确答案

C

解析

解：双曲线C：（φ为参数），

∵sec2φ-tan2φ=1．

∴=1，

∴c==5．

∴此双曲线的一个焦点为（5，0）．

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为______．

正确答案

解析

解：∵直线l的参数方程为（t为参数）

∴消去参数t得y-1=（x-1）

则直线l的斜率为，

故答案为：．

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