曲线的参数方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，圆C2的极坐标方程为，已知C1与C2交于A、B两点，其中点B（xB，yB）位于第一象限．

（Ⅰ）求点A和点B的极坐标；

（Ⅱ）设圆C1的圆心为C1，点P是直线BC1上的动点，且满足，若直线C1P的参数方程为（λ为参数）的动点，则m：λ的值为多少？

正确答案

解：（Ⅰ）联立C1与C2的极坐标方程，得，

当ρ=0时，得交点A极坐标为A（0，0），

当ρ≠0时，化简得，

∴，ρ=2，或，ρ=-2（舍去），

∴点B的极坐标是；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得点B的直角坐标为，

将圆C1的极坐标方程化为直角坐标方程得x2+（y-2）2=4，

∴C1的直角坐标为C1（0，2），

设点P对应的参数为λ，即，

∴，，

由，得，

∴m：λ=1：2

解析

解：（Ⅰ）联立C1与C2的极坐标方程，得，

当ρ=0时，得交点A极坐标为A（0，0），

当ρ≠0时，化简得，

∴，ρ=2，或，ρ=-2（舍去），

∴点B的极坐标是；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得点B的直角坐标为，

将圆C1的极坐标方程化为直角坐标方程得x2+（y-2）2=4，

∴C1的直角坐标为C1（0，2），

设点P对应的参数为λ，即，

∴，，

由，得，

∴m：λ=1：2

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题型：单选题

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单选题

参数方程为（t为参数）表示的曲线是（　　）

A两条射线

B两条直线

C一条射线

D一条直线

正确答案

A

解析

解：由，

当t＞0时，x=t+≥2=2．

当t＜0时，x=t+=-（-t+）≤-2=-2．

∴方程表示的曲线是y=2（x≤-2或x≥2）．

为两条射线，

故选：A．

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题型：填空题

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填空题

曲线（θ为参数）化为普通方程为______．

正确答案

解析

解：由，得，即为曲线的普通方程．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

与参数方程为等价的普通方程为______．

正确答案

解析

解：由参数方程为，

∴，解得0≤t≤1，从而得0≤x≤1，0≤y≤2；

将参数方程中参数消去得．

因此与参数方程为等价的普通方程为（0≤x≤1，0≤y≤2）．

故答案为（0≤x≤1，0≤y≤2）．

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题型：简答题

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简答题

设平面直角坐标系原点与极坐标极点重合，x轴正半轴与极轴重合，若已知曲线C的极坐标方程为ρ2=，点F1、F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的动点P到直线l的最大距离．

正确答案

解：（1）直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），普通方程为x-y-2=0；

曲线C的极坐标方程为ρ2=，直角坐标方程为；

（2）设P（2cosθ，sinθ），则d=，

∴θ-θ0=，即P（-，）时，曲线C上的动点P到直线l的最大距离为+．

解析

解：（1）直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），普通方程为x-y-2=0；

曲线C的极坐标方程为ρ2=，直角坐标方程为；

（2）设P（2cosθ，sinθ），则d=，

∴θ-θ0=，即P（-，）时，曲线C上的动点P到直线l的最大距离为+．

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题型：简答题

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简答题

已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．

（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）求直线l与圆C相交的弦长．

正确答案

解：（Ⅰ）由ρ=2cosθ⇒ρ2=2ρcosθ⇒x2+y2-2x=0⇒（x-1）2+y2=1，

直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）的普通方程为x-y-2=0；

（Ⅱ）圆心到直线距离为：d==．

∴弦长|AB|=2=．

解析

解：（Ⅰ）由ρ=2cosθ⇒ρ2=2ρcosθ⇒x2+y2-2x=0⇒（x-1）2+y2=1，

直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）的普通方程为x-y-2=0；

（Ⅱ）圆心到直线距离为：d==．

∴弦长|AB|=2=．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．

（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

正确答案

解：（Ⅰ）由ρsin2θ=4cosθ可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x，

从而曲线C的形状是顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线．

（Ⅱ）∵直线l过点（1，0）和点（0，1），∴直线l的斜率为-1，从而其倾斜角α=，

∴直线l的参数方程为（t为参数），代入y2=4x，化简可得，

设点A、B对应的参数分别为t1、t2，则 t1+t2=-6，t1•t2=2，

∴．

解析

解：（Ⅰ）由ρsin2θ=4cosθ可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x，

从而曲线C的形状是顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线．

（Ⅱ）∵直线l过点（1，0）和点（0，1），∴直线l的斜率为-1，从而其倾斜角α=，

∴直线l的参数方程为（t为参数），代入y2=4x，化简可得，

设点A、B对应的参数分别为t1、t2，则 t1+t2=-6，t1•t2=2，

∴．

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）+1=0，曲线C2的参数方程为（φ为参数，0≤ϕ≤π），则C1与C2有______个不同公共点．

正确答案

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解析

解：曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）+1=0，可化为y+x+1=0

由曲线C2的参数方程为，消去参数可得（x+1）2+（y+1）2=1（-1≤y≤0）

圆心到直线的距离d==1

则曲线C1与曲线C2的交点个数只有1个．

故答案为：1．

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．

（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；

（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）且参数α∈[0，2π]，

所以点P的轨迹方程为x2+（y-2）2=4．（3分）

（Ⅱ）因为，所以，

所以ρsinθ-ρcosθ=10，所以直线l的直角坐标方程为x-y+10=0．（6分）

法一：由（Ⅰ）点P的轨迹方程为x2+（y-2）2=4，圆心为（0，2），半径为2.，所以点P到直线l距离的最大值．（10分）

法二：，当，，即点P到直线l距离的最大值．（10分）

解析

解：（Ⅰ）且参数α∈[0，2π]，

所以点P的轨迹方程为x2+（y-2）2=4．（3分）

（Ⅱ）因为，所以，

所以ρsinθ-ρcosθ=10，所以直线l的直角坐标方程为x-y+10=0．（6分）

法一：由（Ⅰ）点P的轨迹方程为x2+（y-2）2=4，圆心为（0，2），半径为2.，所以点P到直线l距离的最大值．（10分）

法二：，当，，即点P到直线l距离的最大值．（10分）

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系xoy中，参数方程，（θ为参数）表示的图形上的点到直线y=x的最短距离为______．

正确答案

解析

解：由题意知，参数方程，（θ为参数），

消去θ得，（x-3）2+（y+3）2=9，

∴方程（x-3）2+（y+3）2=9表示的图形是以（3，-3）为圆心、3为半径的圆，

则圆心（3，-3）到直线y=x的距离d==＞3，

∴圆与直线y=x相离，

∴圆上的点到直线y=x的最短距离为，

故答案为：．

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