曲线的参数方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知直线l的参数方程为，若以O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ2=

（1）求直线l的极坐标方程及曲线C的参数方程；

（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

正确答案

解：（1）根据直线l的参数方程为，得

，

由曲线C的极坐标方程为ρ2=，得

∴3ρ2cos2θ+4（ρsinθ）2=12，

∴3x2+4y2=12，

∴，

∴曲线C的直角坐标方程为：，

∴曲线C的参数方程为（θ为参数）．

（2）设与直线x-y-2=0平行且与椭圆相切的直线方程为：

x-y-m=0，

联立方程组，消去y，并整理，得

13y2+6my+3（m2-4）=0，

∵△=0，

∴9m2-13m2+13×4=0，

∴m=．

故切线方程为：

x-y=0，

当取直线x-y-=0时，所求距离最大，

d=，

所求最大距离为．

解析

解：（1）根据直线l的参数方程为，得

，

由曲线C的极坐标方程为ρ2=，得

∴3ρ2cos2θ+4（ρsinθ）2=12，

∴3x2+4y2=12，

∴，

∴曲线C的直角坐标方程为：，

∴曲线C的参数方程为（θ为参数）．

（2）设与直线x-y-2=0平行且与椭圆相切的直线方程为：

x-y-m=0，

联立方程组，消去y，并整理，得

13y2+6my+3（m2-4）=0，

∵△=0，

∴9m2-13m2+13×4=0，

∴m=．

故切线方程为：

x-y=0，

当取直线x-y-=0时，所求距离最大，

d=，

所求最大距离为．

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题型：填空题

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填空题

已知曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，判断直线l与曲线C的位置关系．

正确答案

解析

解：∵已知曲线C的参数方程为（t为参数），

消去t可得曲线C 的普通方程为：x2+y2=2

这是以坐标原点O为圆心，以为半径的圆；

又直线l 的极坐标方程为ρsin（θ+）=），

化为直角坐标方程为x+y-2=0；

∴圆心O到直线l的距离d==，

∴直线l与曲线C的位置关系是相切

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题型：单选题

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单选题

若圆的方程为（θ为参数），当θ=时，对应点的坐标是（　　）

A（2，0）

B（0，2）

C（-2，0）

D（0，-2）

正确答案

B

解析

解：∵圆的方程为（θ为参数），

∴当θ=时，x=0，y=2，

∴当θ=时，对应点的坐标是（0，2）．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

（Ⅰ）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为θ=（ρ∈R），它与曲线（θ为参数）相交于两点A和B，求|AB|；

（Ⅱ）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若直线C1的极坐标方程为：ρcos（θ-），曲线C2的参数方程为：（θ为参数），试求曲线C2关于直线C1对称的曲线的直角坐标方程．

正确答案

解：（Ⅰ）直线的极坐标方程是θ=（ρ∈R），

化为普通方程是y=x；

曲线的参数方程是（θ为参数），

化为直角坐标方程为圆：（x-1）2+（y-2）2=5；…（1分）

则圆心为C（1，2），半径R=，…（2分）

∴圆心C到直线y=x的距离为：d==； …（3分）

由垂径定理得，|AB|=2=2=3；…（4分）

（Ⅱ）∵直线C1的极坐标方程为：ρcos（θ-），

∴ρcosθ+ρsinθ=，

化为普通方程是x+y=2；…（5分）

又曲线C2的参数方程为：（θ为参数），

消去参数得（x-1）2+（y-3）2=1，

∴曲线C2是以（1，3）为圆心，1为半径的圆； …（6分）

设点P（x，y）是圆心（1，3）关于直线x+y=2的对称点，

则；

解得，

∴P（-1，1）；

∴所求的曲线为圆（x+1）2+（y-1）2=1． …（7分）

解析

解：（Ⅰ）直线的极坐标方程是θ=（ρ∈R），

化为普通方程是y=x；

曲线的参数方程是（θ为参数），

化为直角坐标方程为圆：（x-1）2+（y-2）2=5；…（1分）

则圆心为C（1，2），半径R=，…（2分）

∴圆心C到直线y=x的距离为：d==； …（3分）

由垂径定理得，|AB|=2=2=3；…（4分）

（Ⅱ）∵直线C1的极坐标方程为：ρcos（θ-），

∴ρcosθ+ρsinθ=，

化为普通方程是x+y=2；…（5分）

又曲线C2的参数方程为：（θ为参数），

消去参数得（x-1）2+（y-3）2=1，

∴曲线C2是以（1，3）为圆心，1为半径的圆； …（6分）

设点P（x，y）是圆心（1，3）关于直线x+y=2的对称点，

则；

解得，

∴P（-1，1）；

∴所求的曲线为圆（x+1）2+（y-1）2=1． …（7分）

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C的参数方程为（y为参数），过点A（2，1）作平行于θ=的直线l 与曲线C分别交于B，C两点（极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、x轴的正半轴重合）．

（Ⅰ）写出曲线C的普通方程；

（Ⅱ）求B、C两点间的距离．

正确答案

解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（y为参数），消去参数t得，y2=4x．

（Ⅱ）依题意，直线l的参数方程为（t为参数），

代入抛物线方程得可得，

∴，t1t2=14．

∴|BC|=|t1-t2|===8．

解析

解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（y为参数），消去参数t得，y2=4x．

（Ⅱ）依题意，直线l的参数方程为（t为参数），

代入抛物线方程得可得，

∴，t1t2=14．

∴|BC|=|t1-t2|===8．

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为p2-6pcosθ+5=0．

（1）写出曲线C的参数方程；

（2）设M（x，y）（y≥0）为曲线C上一点，求x+y的取值范围．

正确答案

解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+5=0，

化为直角坐标方程：x2+y2-6x+5=0，配方为（x-3）2+y2=4．

∴圆的参数方程为：．

（2）x+y=3+2cosα+2sinα=+3．由y≥0，可得0≤α≤π，．

∴，

∴x+y的取值范围为．

解析

解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+5=0，

化为直角坐标方程：x2+y2-6x+5=0，配方为（x-3）2+y2=4．

∴圆的参数方程为：．

（2）x+y=3+2cosα+2sinα=+3．由y≥0，可得0≤α≤π，．

∴，

∴x+y的取值范围为．

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题型：单选题

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单选题

点P是抛物线（t为参数）上任一点，Q是椭圆（θ为参数，0≤θ＜2π）上任一点，则|PQ|的最小值为（　　）

A1

B5

C2

D0

正确答案

A

解析

解：由题意，抛物线（t为参数）的普通方程为x2=2y，顶点为（0，），

椭圆（θ为参数，0≤θ＜2π）的普通方程为x2+=1，与y轴的交点坐标为（0，-1），（0，-3），

∴|PQ|的最小值为1，

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

已知点P是曲线C：（θ为参数）上一点，且在第一象限，OP（O是平面直角坐标系的原点）的倾斜角为，则点P的坐标为（　　）

A（，）

B（，1）

C（，）

D（1，）

正确答案

A

解析

解：由题意知化为普通方程是 ①

∵OP（O是平面直角坐标系的原点）的倾斜角为，

∴直线OP的方程是y= ②

把②代入①得x2=6

∴x=

∴点P的坐标是（，）

故选A．

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题型：简答题

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简答题

在同一平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2=1经过伸缩变换后，变为曲线C′．

（1）求曲线C′的方程；

（2）求曲线C′上的点到直线x+2y-8=0距离的最小值．

正确答案

解：（1）由x2+y2=1、，可得曲线C′的方程为：+=1，

化简得：+=1．

（2）因为椭圆的参数方程为（θ为参数），

所以可设点M的坐标为（3cosθ，2sinθ）．

由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为d==，

由三角函数性质知，当 θ-α=0时，d取最小值为．

解析

解：（1）由x2+y2=1、，可得曲线C′的方程为：+=1，

化简得：+=1．

（2）因为椭圆的参数方程为（θ为参数），

所以可设点M的坐标为（3cosθ，2sinθ）．

由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为d==，

由三角函数性质知，当 θ-α=0时，d取最小值为．

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题型：填空题

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填空题

直线y=x与曲线C：（θ为参数，π≤θ≤2π）的交点坐标是______．

正确答案

解析

解：由曲线C：（θ为参数，π≤θ≤2π），

得到：（y≤0）．

由，

得到，

∵y≤0，

∴，

∴．

∴直线y=x与曲线C：（θ为参数，π≤θ≤2π）的交点坐标是．

故答案为：．

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