曲线的参数方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），取与直角坐标系xOy相同的长度单位，且以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的圆心是（，），半径r=．

（1）求直线l的普通方程和圆C的极坐标方程；

（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，求△ABC的面积．

正确答案

解：（1）由，得；

圆C的圆心是（，），即（）=（1，1），

半径为，则圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=2，也就是x2+y2-2x-2y=0，

由x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴圆C的极坐标方程是ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=0，即ρ=2（cosθ+sinθ）；

（2）联立，得4y2-2y-1=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则．

∴|AB|=．

点C到直线AB的距离d=．

∴．

解析

解：（1）由，得；

圆C的圆心是（，），即（）=（1，1），

半径为，则圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=2，也就是x2+y2-2x-2y=0，

由x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴圆C的极坐标方程是ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=0，即ρ=2（cosθ+sinθ）；

（2）联立，得4y2-2y-1=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则．

∴|AB|=．

点C到直线AB的距离d=．

∴．

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题型：单选题

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单选题

方程（θ为参数）所表示的曲线是（　　）

A圆

B抛物线

C直线

D抛物线的一部分

正确答案

D

解析

解：由，得

，把①代入②得：y=2x2（-1≤x≤1）．

∴方程（θ为参数）所表示的曲线是抛物线的一部分．

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=5．设点P，Q分别在曲线C1和C2上运动，则|PQ|的最小值为（　　）

A

B2

C3

D4

正确答案

A

解析

解：∵可化为，

整理可得x2+（y-1）2=2，图象为圆，圆心为（0，1），半径

∴曲线C1的普通方程为x2+（y-1）2=2，

∵ρsin（θ+）=5可化为ρ（cosθ+sinθ）=5

∴ρsinθ+ρcosθ=5，即x+y=5，

∴曲线C2的普通方程为x+y=5，图象为直线，

由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距d==2，

∴|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即d-=

故选：A

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题型：填空题

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填空题

已知直线l：（t为参数）与曲线C：ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+3=0，

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）判断l与C的位置关系．

正确答案

解析

解：（Ⅰ）∵曲线C：ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+3=0，

，

∴x2+y2-2x-4y+3=0，

∴圆C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-2）2=2．

（Ⅱ）∵直线l：（t为参数），

∴．

∴圆心C（1，2）到直线l的距离为：

．

∵，

∴d＞r．

∴直线l与圆C的位置关系是相离．

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题型：填空题

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填空题

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．则曲线C在极坐标系中的方程是______；直线l被曲线C截得的弦长为______．

正确答案

ρ=4cosθ

解析

解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），利用sin2θ+cos2θ=1可化为（x-2）2+y2=4，即x2-4x+y2=0．

∴曲线C在极坐标系中的方程为ρ2-4ρcosθ=0，

由于ρ=4cosθ包含ρ=0的情况，

∴曲线C在极坐标系中的方程为ρ=4cosθ．

（2）∵直线l的方程为．展开为=0，可化为x+y=0，

∴圆C的圆心C（2，0）到直线l的距离为，

又∵圆C的半径为r=2，

∴直线l被曲线C截得的弦长=．

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题型：简答题

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简答题

己知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ-）．

（Ⅰ）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）圆C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

正确答案

解：（I）由圆C1的参数方程，

消去参数φ可得：x2+y2=1．

由圆C2的极坐标方程ρ=2cos（θ-），化为•ρ，

∴x2+y2=2x+2y．即（x-1）2+（y-1）2=2．

（II）由x2+y2=1，x2+y2=2x+2y．可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1．

圆心（0，0）到此直线的距离d==．

∴弦长|AB|=2=．

解析

解：（I）由圆C1的参数方程，

消去参数φ可得：x2+y2=1．

由圆C2的极坐标方程ρ=2cos（θ-），化为•ρ，

∴x2+y2=2x+2y．即（x-1）2+（y-1）2=2．

（II）由x2+y2=1，x2+y2=2x+2y．可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1．

圆心（0，0）到此直线的距离d==．

∴弦长|AB|=2=．

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题型：填空题

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填空题

已知曲线上一点P到两定点A（0，-2）、B（0，2）的距离之差为2，则为______．

正确答案

9

解析

解：曲线，即 +=1，到两定点A（0，-2）、B（0，2）的距离之差为2的点的轨迹

是以两定点A、B为焦点的双曲线，2a=2，c=2，∴b=，

∴双曲线的方程为 -=1，点P（x，y），

把 +=1 和 -=1联立方程组可解得 x2=9，y2=4，

则=（x，y+2）（x，y-2）=x2+y2-4=9+4-4=9，

故答案为9．

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题型：单选题

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单选题

设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为（　　）

Aρcos2α-sinα=0

Bρcosα-sinα=0

Cρcosα-sin2α=0

Dcos2α-ρsinα=0

正确答案

A

解析

解：把曲线C的参数方程化为普通方程是y=x2，

把曲线C的普通方程化为极坐标方程是ρsinθ=ρ2cos2θ，

即ρcos2θ-sinθ=0．

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．

（Ⅰ）写出C的参数方程；

（Ⅱ）设直线l：2x+y-2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

正确答案

解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，

∴x2+=1，即曲线C的方程为 x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．

（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），

则线段P1P2的中点坐标为（，1），

再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y-1=（x-），即x-2y+=0．

再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα-2ρsinα+=0，

即 ρ=．

解析

解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，

∴x2+=1，即曲线C的方程为 x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．

（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），

则线段P1P2的中点坐标为（，1），

再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y-1=（x-），即x-2y+=0．

再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα-2ρsinα+=0，

即 ρ=．

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题型：单选题

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单选题

直线x-y+4=0与曲线（θ为参数）的交点有（　　）

A0个

B1个

C2个

D3个

正确答案

B

解析

解：曲线（θ为参数）即x2+y2=4，

是圆，圆心是（0，0），半径是2，

∴圆心到直线x-y+4=0的距离为：

d==圆的半径，

所以直线与圆相切，有一个交点．

故选B．

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