曲线的参数方程
共1154题

曲线的参数方程
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题型：简答题

简答题

已知y=-x+，求参数方程．

正确答案

解：由直线y=-x+的斜率k=-，过点．

可得直线的参数方程为．

解析

解：由直线y=-x+的斜率k=-，过点．

可得直线的参数方程为．

题型：填空题

填空题

直线l：（t为参数）被曲线C：（θ为参数）所截得的弦长为______．

正确答案

解析

解：直线l：（t为参数）即3x-4y-8=0，

曲线C：（θ为参数）即（x-5）2+（y-3）2=4，表示以C（5，3）为圆心、半径为2的圆．

圆心到直线3x-4y-8=0的距离为d==1，故弦长为2=2，

故答案为：2．

题型：填空题

填空题

设直线l的参数方程为（t为参数），圆O的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆O所截得的弦长为______．

正确答案

解析

解：直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x+2y-3=0；

圆O的参数方程为（θ为参数），普通方程为x2+y2=9，

∴圆心O到l的距离为，

∴直线l被圆O所截得的弦长为2=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的极坐标方程为ρ（3cosθ+4sinθ）=4，直线l1与l2垂直．

（1）求实数m的值；

（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），曲线C与直线l1交于A，B两点，求点M（2，1）到A，B两点的距离之积．

正确答案

解：（1）直线l1的参数方程为（t为参数），

化为普通方程是mx-3y+3-2m=0；

直线l2的极坐标方程为ρ（3cosθ+4sinθ）=4，

化为普通方程是3x+4y=4；

又∵直线l1⊥l2，

∴3m-3×4=0，

∴m=4；

（2）∵m=4，

∴l1的参数方程可化为（t为参数）；

又∵C的参数方程（θ为参数）化为普通方程是，

+=1；

把l1的参数方程代入得4（2+t）2+9=36；

即36t2+120t-55=0，

∴t1•t2=-，

∴|t1|•|t2|=|t1t2|=；

即点M（2，1）到A，B两点的距离之积为．

解析

解：（1）直线l1的参数方程为（t为参数），

化为普通方程是mx-3y+3-2m=0；

直线l2的极坐标方程为ρ（3cosθ+4sinθ）=4，

化为普通方程是3x+4y=4；

又∵直线l1⊥l2，

∴3m-3×4=0，

∴m=4；

（2）∵m=4，

∴l1的参数方程可化为（t为参数）；

又∵C的参数方程（θ为参数）化为普通方程是，

+=1；

把l1的参数方程代入得4（2+t）2+9=36；

即36t2+120t-55=0，

∴t1•t2=-，

∴|t1|•|t2|=|t1t2|=；

即点M（2，1）到A，B两点的距离之积为．

题型：填空题

填空题

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为P（，）．设直线l与曲线C的两个交点为A、B，则|PA|•|PB|的值为______．

正确答案

解析

解：P的极坐标为P（，），直角坐标为（0，）在直线l上．

曲线C的参数方程为（φ为参数），普通方程为

直线l的参数方程为（t为参数）代人

得，t2+2t-8=0①

设t1，t2是方程①的两个实根，则t1t2=-8

∴|PA|•|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=8．

故答案为：8．

题型：单选题

单选题

曲线C：（θ为参数）与直线l：（t为参数）的位置关系是（　　）

A相交

B相离

C相切

D不确定

正确答案

解析

解：曲线C：（θ为参数），标准方程是（x-1）2+y2=1，

圆心是（1，0），半径r是1，

直线l：（t为参数），普通方程为x+y+1=0，

∴圆心到直线的距离是d==＞1，

∴直线与圆相离，

故选：B．

题型：填空题

填空题

曲线（t为参数）的普通方程为______．

正确答案

x=y2，（-1≤y≤1）

解析

解：因为曲线（t为参数）

∴sint=y，代入x=sin2t，可得x=y2，其中-1≤y≤1．

故答案为：x=y2，（-1≤y≤1）．

题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为cos（θ-）．若圆C关于直线l对称，则a的值为______．

正确答案

解析

解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得x+ay+a-5=0．

圆C的极坐标方程为cos（θ-）展开化为ρ2=．

把代入可得x2+y2=2x+2y．

化为（x-1）2+（y-1）2=2．圆心C（1，1）．

∵圆C关于直线l对称，

∴圆心C在直线l上，

∴1+a+a-5=0，

解得a=2．

则a的值为 2．

故答案为：2．

题型：单选题

单选题

若曲线，（t为参数）上异于原点的不同两点M1，M2所对应的参数分别是t1、t2（且t1≠t2），则弦M1M2所在直线的斜率是（　　）

At1+t2

Bt1-t2

正确答案

解析

解：由题意可得M1，M2（2pt2，），

∴弦M1M2所在直线的斜率==t1+t2．

故选：A．

题型：填空题

填空题

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0．则l与C的交点直角坐标为______．

正确答案

（1，2）

解析

解：由曲线C的参数方程为（t为参数）消去参数t化为y=2x2（x≥0）．

由直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0消去参数θ化为x-y+1=0．

联立，及x≥0，解得．

∴l与C的交点直角坐标为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

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