曲线的参数方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）曲线（t为参数且t＞0）与曲线（θ为参数）的交点坐标是______．

正确答案

（1，2）

解析

解：由曲线（t为参数且t＞0）消去参数t化为普通方程y=x+1（x＞0）；

由曲线（θ为参数）消去参数θ化为y=2x2．

联立解得．

∴二曲线的交点坐标为（1，2）．

故答案为（1，2）．

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题型：简答题

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简答题

若直线l1：（t为参数）与直线l2：（s为参数）垂直，则k=______．

正确答案

解：∵直线l1：（t为参数）

∴y-2=-（x-1），

直线l2：（s为参数）

∴2x+y=1，

∵两直线垂直，

∴-×（-2）=-1，

得k=-1．

故答案为：-1．

解析

解：∵直线l1：（t为参数）

∴y-2=-（x-1），

直线l2：（s为参数）

∴2x+y=1，

∵两直线垂直，

∴-×（-2）=-1，

得k=-1．

故答案为：-1．

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题型：简答题

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简答题

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）试分别将曲线Cl的极坐标方程ρ=sinθ-cosθ和曲线C2的参数方程（t为参数）化为直角坐标方程和普通方程：

（Ⅱ）若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线Cl和曲线C2上爬行，求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离（视蚂蚁为点）．

正确答案

解：（Ⅰ）∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线Cl的极坐标方程ρ=sinθ-cosθ

∴曲线Cl：x2+y2+x-y=0┅┅┅┅┅┅┅（2分）

∵曲线C2的参数方程，

∴曲线，即x2+y2=2┅┅┅┅┅┅┅┅┅（5分）

（2）∵|C1C2|===-

∴圆Cl：x2+y2+x-y=0与圆C2：x2+y2=2内切

∴红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离为圆C2的直径2．┅┅┅┅┅┅（10分）

解析

解：（Ⅰ）∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线Cl的极坐标方程ρ=sinθ-cosθ

∴曲线Cl：x2+y2+x-y=0┅┅┅┅┅┅┅（2分）

∵曲线C2的参数方程，

∴曲线，即x2+y2=2┅┅┅┅┅┅┅┅┅（5分）

（2）∵|C1C2|===-

∴圆Cl：x2+y2+x-y=0与圆C2：x2+y2=2内切

∴红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离为圆C2的直径2．┅┅┅┅┅┅（10分）

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题型：填空题

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填空题

参数方程的普通方程______．

正确答案

解析

解：由参数方程可得，把①和②平方相减可得 4x2-y2=16，即，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．若点P是圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

正确答案

解：（方法一）

由消掉参数t得直线l的普通方程为x-y+=0．

∵点P在圆C上，故设P（+cosθ，sinθ），

从而点P到直线l的距离

d==．

∴dmin=-1．

即点P到直线l的距离的最小值为-1．

（方法二）

直线l的普通方程为x-y+=0．

由，得．

∴圆C的圆心坐标为（，0），半径为1．

从而圆心C到直线l的距离为d==．

∴点P到直线l的距离的最小值为-1．

解析

解：（方法一）

由消掉参数t得直线l的普通方程为x-y+=0．

∵点P在圆C上，故设P（+cosθ，sinθ），

从而点P到直线l的距离

d==．

∴dmin=-1．

即点P到直线l的距离的最小值为-1．

（方法二）

直线l的普通方程为x-y+=0．

由，得．

∴圆C的圆心坐标为（，0），半径为1．

从而圆心C到直线l的距离为d==．

∴点P到直线l的距离的最小值为-1．

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题型：填空题

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填空题

直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线（t为参数）截圆ρ2+2ρcosθ-3=0的弦长为______．

正确答案

解析

解：由圆ρ2+2ρcosθ-3=0，化为直角坐标方程x2+y2+2x-3=0，化为（x+1）2+y2=4，圆心C（-1，0），半径r=2．

又直线（t为参数）化为普通方程x-y+3=0．

∴圆心C到直线的距离d==．

∴弦长l==．

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为（t 为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|的值．

正确答案

解：（I）由曲线C的极坐标方程ρ=，得ρ2sin2θ=2ρcosθ，即y2=2x，

∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；

（II）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2α-2tcosα-1=0，

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，

则t1+t2=，t1•t2=-；

∴|AB|=|t1-t2|===，

∴|AB|的值为．

解析

解：（I）由曲线C的极坐标方程ρ=，得ρ2sin2θ=2ρcosθ，即y2=2x，

∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；

（II）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2α-2tcosα-1=0，

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，

则t1+t2=，t1•t2=-；

∴|AB|=|t1-t2|===，

∴|AB|的值为．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，直线 l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．

（Ⅰ）试求直线l和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）求直线l和曲线C的公共点的坐标．

正确答案

解：（I）∵直线 l的参数方程为（t 为参数），

消去参数t，

∴直线l的普通方程为2x-y-2=0；

又∵曲线C的参数方程为（θ为参数），

消去参数θ，

∴曲线C的普通方程为y2=2x；（8分）

（ II）由直线l与曲线C组成方程组，

解得，或；

∴公共点的坐标为（2，2），（，-1）．（12分）

解析

解：（I）∵直线 l的参数方程为（t 为参数），

消去参数t，

∴直线l的普通方程为2x-y-2=0；

又∵曲线C的参数方程为（θ为参数），

消去参数θ，

∴曲线C的普通方程为y2=2x；（8分）

（ II）由直线l与曲线C组成方程组，

解得，或；

∴公共点的坐标为（2，2），（，-1）．（12分）

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题型：填空题

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填空题

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的长度单位，曲线C1的参数方程为为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，若C1与C2有两个不同的交点，则实数a的取值范围是______．

正确答案

解析

解：曲线C1的参数方程为为参数），消去参数化为普通方程：ax-y+2a=0．

曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4x，化为（x-2）2+y2=4．

圆心C2（2，0）到直线的距离d==．

∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，若C1与C2有两个不同的交点，

∴d＜r，

∴＜4，化为3a2＜1，

解得．

则实数a的取值范围是．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（2，3），倾斜角为．

（1）写出直线l的参数方程和圆的标准方程；

（2）设直线l与圆相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

正确答案

解析

解：（1）把曲线C的参数方程为（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去θ，化为普通方程为 x2+y2=16①，

直线l的参数方程为 ②．

（2）把②代入①得， ③，

设t1，t2是方程③的两个实根，则t1t2=-3，所以|PA|•|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3．

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