曲线的参数方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C：（θ是参数）有两个不同的交点P和Q，则k的取值范围为______．

正确答案

（-∞，-）∪（，+∞）

解析

解：根据曲线C：（θ是参数），得

，

∵经过点（0，）且斜率为k的直线l的方程为：

y-=kx，

∴y=kx+，

联立方程组，得

（1+4k2）x2+8kx+4=0，

∵直线l与曲线C有两个不同的交点，

∴△=128k2-4×4×（1+4k2）≥0，

∴k2≥，

∴k≤-或k，

∴k∈（-∞，-）∪（，+∞）．

故答案为：（-∞，-）∪（，+∞）．

1

题型：填空题

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填空题

已知直线l方程是（t为参数），以坐标原点为极点．x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2，则圆C上的点到直线l的距离最小值是______．

正确答案

2-2

解析

解：直线l的参数方程为（参数t∈R），消去t的普通方程为 x-y-4=0，

∵圆C的极坐标方程为ρ=2

∴圆C的普通方程为 x2+y2=4，圆心（0，0），半径为2，

则圆心C到直线l的距离为d==2，圆C上的点到直线l的距离最小值是d-r=2-2．

故答案为：2-2．

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题型：简答题

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简答题

已知圆C：（θ为参数）和直线θl：（其中t为参数，α为直线l的倾斜角）

（1）当时，求圆上的点到直线l的距离的最小值；

（2）当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．

正确答案

解：（1）圆C：（θ为参数）的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，

当时，直线直线l：的直角坐标方程为x+y-3=0

圆心到直线的距离为：=

所以圆上的点到直线的距离的最小值为-1．

（2）∵直线l的参数方程为l：（t为参数，α为直线l的倾斜角），

消去参数t化为普通方程为tanα•x-y-2tanα+=0．

圆C化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，

表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．

根据圆心C到直线的距离d=≤1，

解得tanα≥．

再由倾斜角α∈[0，π）可得，≤α＜，

故α的取值范围为[，]．

解析

解：（1）圆C：（θ为参数）的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，

当时，直线直线l：的直角坐标方程为x+y-3=0

圆心到直线的距离为：=

所以圆上的点到直线的距离的最小值为-1．

（2）∵直线l的参数方程为l：（t为参数，α为直线l的倾斜角），

消去参数t化为普通方程为tanα•x-y-2tanα+=0．

圆C化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，

表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．

根据圆心C到直线的距离d=≤1，

解得tanα≥．

再由倾斜角α∈[0，π）可得，≤α＜，

故α的取值范围为[，]．

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题型：简答题

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简答题

已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是．

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；

（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（-3，0），有|QF|•|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），

则由|PO|=|PA|得λ（x2+y2）=（x-3）2+y2，

整理得：（λ-1）x2+（λ-1）y2+6x-9=0，

∵λ＞0，∴当λ=1时，方程可化为：2x-3=0，方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；

当λ≠1时，则方程可化为，+y2=，

即方程表示的曲线是以（-，0）为圆心，为半径的圆．

（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x-3=0，

故曲线D表示圆，圆心是D（-1，0），半径是2．

设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，

则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2．

即d===1．于是顶点Q到动直线FG的距离为定值，

即动直线FG与定圆（x+3）2+y2=1相切．

解析

解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），

则由|PO|=|PA|得λ（x2+y2）=（x-3）2+y2，

整理得：（λ-1）x2+（λ-1）y2+6x-9=0，

∵λ＞0，∴当λ=1时，方程可化为：2x-3=0，方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；

当λ≠1时，则方程可化为，+y2=，

即方程表示的曲线是以（-，0）为圆心，为半径的圆．

（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x-3=0，

故曲线D表示圆，圆心是D（-1，0），半径是2．

设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，

则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2．

即d===1．于是顶点Q到动直线FG的距离为定值，

即动直线FG与定圆（x+3）2+y2=1相切．

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题型：简答题

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简答题

圆C的参数方程为（∂为参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ-）=

（1）求圆与直线的直角坐标方程；

（2）直线l与圆C交于A、B，与x轴交于P，求PA+PB的值．

正确答案

解：（1）由圆C的参数方程为（∂为参数），可得（x-2）2+（y-3）2=cos2α+sin2α=1，

∴圆C的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，

直线l的极坐标方程ρsin（θ-）=展开可得，化为y-x=2．

∴直线l的直角坐标方程为x-y+2=0；

（2）由直线l的直角坐标方程为x-y+2=0，令y=0，可得x=-2，∴P（-2，0）．

设直线l的参数方程为，

代入圆C的方程可得+，

化为，

∴t1+t2=7＞0，t1t2＞0．

即PA+PB=7．

解析

解：（1）由圆C的参数方程为（∂为参数），可得（x-2）2+（y-3）2=cos2α+sin2α=1，

∴圆C的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，

直线l的极坐标方程ρsin（θ-）=展开可得，化为y-x=2．

∴直线l的直角坐标方程为x-y+2=0；

（2）由直线l的直角坐标方程为x-y+2=0，令y=0，可得x=-2，∴P（-2，0）．

设直线l的参数方程为，

代入圆C的方程可得+，

化为，

∴t1+t2=7＞0，t1t2＞0．

即PA+PB=7．

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题型：填空题

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填空题

已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=2，则曲线C2与曲线C1交点个数为______．

正确答案

0

解析

解：曲线C1的参数方程（t为参数）化为普通方程是

x+y-6=0，

曲线C2的极坐标方程ρ=2化为普通方程是

x2+y2=4；

∵圆心到直线的距离d==3＞2=r，

∴直线与圆无交点，

即曲线C2与C1交点个数为0．

故答案为：0．

1

题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（θ-），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程是（θ为参数），若圆C1与圆C2外切，则实数a=______．

正确答案

±

解析

解：圆C1的方程为ρ=4cos（θ-）的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-2）2=8，

圆心C1（2，2），半径r1=2，

圆C2的参数方程（θ是参数）的普通方程为：（x+1）2+（y+1）2=a2．

圆心距C1C2=3，

两圆外切时，C1C2=r1+r2=2+|a|=3，

∴a=±．

故答案为：±．

1

题型：填空题

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填空题

在直角坐标系中，圆C的参数方程为（θ为参数，θ∈[0，2π）），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心的极坐标为______．直线（t为参数）被圆C所截得的弦长为______．

正确答案

0

解析

解：①由圆C的参数方程为（θ为参数，θ∈[0，2π））消去参数θ化为普通方程x2+（y-2）2=4，

∴圆心C（0，2），半径r=2．∴圆C的圆心的极坐标为；

②由直线（t为参数）消去参数t化为普通方程x+y+1=0．

∴圆心C（0，2）到直线的距离d==＞2=r，因此直线与圆相离；

∴直线被圆C所截得的弦长=0．

故答案为；0

1

题型：单选题

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单选题

直线的参数方程，该直线上对应点A，B的参数分别是t1，t2那么A到B的距离是

（　　）

A|t1+t2|

B|t1|+|t2|

C|t1|-|t2|

D|t1-t2|

正确答案

D

解析

解：由直线的参数方程，

知直线经过定点P（x0，y0），直线的倾斜角为θ．

如图，

不妨规定直线AB向上的方向为正方向，

参数t1的几何意义为的数量，t2的几何意义为的数量，

∴A到B的距离|AB|=|t1-t2|．

故选：D．

1

题型：简答题

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简答题

（2016•南昌一模）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．

正确答案

解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，

∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：

ρ2=4ρcosθ，

∴x2+y2=4x，

∴（x-2）2+y2=4．

（2）将代入圆的方程（x-2）2+y2=4得：

（tcosα-1）2+（tsinα）2=4，

化简得t2-2tcosα-3=0．

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，

则，

∴|AB|=|t1-t2|==，

∵|AB|=，

∴=．

∴cos．

∵α∈[0，π），

∴或．

∴直线的倾斜角或．

解析

解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，

∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：

ρ2=4ρcosθ，

∴x2+y2=4x，

∴（x-2）2+y2=4．

（2）将代入圆的方程（x-2）2+y2=4得：

（tcosα-1）2+（tsinα）2=4，

化简得t2-2tcosα-3=0．

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，

则，

∴|AB|=|t1-t2|==，

∵|AB|=，

∴=．

∴cos．

∵α∈[0，π），

∴或．

∴直线的倾斜角或．

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