曲线的参数方程
共1154题

曲线的参数方程
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题型：简答题

简答题

（10分）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：

⑴、（为参数）； ⑵、（为参数）

正确答案

⑴ ∴曲线是长轴在x轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆。

(2)它表示过（0，）和(1, 0)的一条直线。

本试题主要是考查了参数方程与普通方程的互化运用。

（1）借助于三角函数中同角关系式中平方关系，消去参数得到普通方程。

（2）将第一方程中的t，代入到第二个方程中，就可以得到结论。

解：⑴、∵ ∴两边平方相加，得即 ∴曲线是长轴在x轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆。

⑵、∵∴由代入，得∴

∴它表示过（0，）和(1, 0)的一条直线。

题型：简答题

简答题

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，若以直角坐标系的点为极点，轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得直线的极坐标方程为．求直线与曲线交点的极坐标．

正确答案

试题分析：求直线与曲线交点的极坐标，可先直线与曲线交点直角坐标..先根据，消去参数得,注意范围：.再根据得直线的方程：，由 , 解得. 所以交点的极坐标为.

直线的直角坐标方程为，故直线的倾斜角为．

曲线的普通方程为 ,

由 , 解得. 所以交点的极坐标为.

题型：填空题

填空题

若直线（为参数）被圆截得的弦长为最大，则此直线的倾斜角为；

正确答案

试题分析：直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；直线被圆截得的弦长最大，即圆心到直线的距离最小，，当时，.

题型：填空题

填空题

在极坐标系中，为极点，直线过圆：的圆心，且与直线垂直，则直线的极坐标方程为．

正确答案

试题分析：先把极坐标方程转化为直角坐标的方程，找到圆心，过圆心且与OC垂直的直线为，再转化为极坐标的形式.

题型：简答题

简答题

已知直线为曲线的切线,且与直线垂直．

（1）求直线的方程；

（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积．

正确答案

略

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为，（为参数），试求直线和曲线的普通方程，并求它们的公共点的坐标.

正确答案

因为直线的参数方程为，（为参数），由，得代入

得到直线的普通方程为.

同理得曲线的普通方程为.

联立方程组，解得公共点的坐标为，.

【考点定位】本小题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查转化问题的能力.

题型：填空题

填空题

直线(t为参数)与曲线 (“为多α数)的交点个数为

正确答案

试题分析：将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．根据题意，由于直线(t为参数)与曲线 (“为多α数)化为普通方程分别是x+y-1=0和x2+y2=9，那么可知∵圆心（0，0）到直线x+y-1=0的距离为d=＜3，∴直线与圆有两个交点，故答案为：2

点评：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题

题型：简答题

简答题

已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t是参数）.

（1）将曲线C的极坐标方程和直线L参数方程转化为普通方程;

（2）若直线L与曲线C相交于M、N两点，且，求实数m的值.

正确答案

（1），；（2）．

试题分析：

解题思路：（1）利用极坐标方程、参数方程、普通方程的互化公式化简即可；（2）利用，求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式求值.

规律总结：涉及直线与曲线的极坐标方程、参数方程的问题，要注意先将极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的相互转化，再利用有关知识进行求解.

试题解析：（1）曲线C的普通方程为

直线L的普通方程为

（2）因为曲线C：

所以，圆心到直线的距离是

所以.

题型：填空题

填空题

(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为（为参数）,则过曲线C上横坐标为1的点的切线方程为 .

正确答案

消去参数t可得曲线C的普通方程为,

所以切线方程为即.

题型：填空题

填空题

．设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上的动点到直线距离的最大值为．

正确答案

解：因为曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，那么则曲线上的动点到直线距离的最大值，是圆心到直线的距离加上圆的半径得到为6。

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