- 曲线的参数方程
- 共1154题
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系
取相同的长度单位,且以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴)中,曲线
的极坐标方程为
,则
与
的两个交点之间的距离等于.
正确答案
试题分析:、
的普通方程分别为
、
,
与
的两个交点之间的距离即为圆截直线得到的弦长,所以,
.
C.选修4—4:坐标系与参数方程
(本小题满分10分)
在极坐标系中,圆的方程为
,以极点为坐标原点,极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数),判断直线
和圆
的位置关系.
正确答案
消去参数,得直线
的直角坐标方程为
;…………… 2分
即
,
两边同乘以得
,
得⊙的直角坐标方程为:
, …………………… 6分
圆心到直线
的距离
,
所以直线和⊙
相交. ……………………………………… 10分
略
在平面直角坐标系xOy中,设P(x,y)是椭圆+y2=1上的一个动点,求S=x+y的最大值.
正确答案
当=
时,S取得最大值2
由椭圆+y2=1的参数方程为
(
为参数),
可设动点P的坐标为(cos
,sin
),其中0≤
<2
.
因此,S=x+y=cos
+sin
=2·=2sin(
+
).
所以当=
时,S取得最大值2.
经过点M(,0)作直线l,交曲线
(θ为参数)于A,B两点,若|MA|,|AB|,|MB|成等比数列,求直线l的方程.
正确答案
或
.
试题分析:先将直线设为代入曲线C,得到关于t的方程,利用t的几何意义,利用|MA|,|AB|,|MB|成等比数列,得到
,可以求出方程.
试题解析:解:根据题意,设直线l的参数方程为
(t为参数)
曲线C化成普通方程得x2+y2=4.
将代入
得
(+tcosθ)2+t2sin2θ=4.
化简整理得t2+2cosθt+6=0,
∴t1+t2=-2cosθ,t1t2=6.
由题意得|AB|2=|MA||MB|,
而|AB|2=(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2,
|MA||MB|=|t1t2|=6,
即40cos2θ-24=6,解得cosθ=±,
∴sinθ=,k=tanθ=±
.
所求直线l的方程为或
.
已知圆的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)将圆的参数方程化为普通方程,将圆
的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)圆、
是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.
正确答案
(Ⅰ)。(Ⅱ)
。
试题分析:
思路分析:(Ⅰ)由利用“平方关系”消参得到:x2+y2=1,
应用两角和的余弦公式变形,得到ρ=2cos(θ+)=cosθ-
sinθ,
即ρ2=ρcosθ-ρsinθ利用公式化为普通方程。
(Ⅱ)通过计算圆心距,
判断两圆相交,通过建立方程组,进一步求弦长,也可考虑“几何法”。
解:(Ⅰ)由得x2+y2=1,
又∵ρ=2cos(θ+)=cosθ-
sinθ,
∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ.∴x2+y2-x+
y=0,
即 5分
(Ⅱ)圆心距,
得两圆相交,由
得,A(1,0),B,
∴ 10分
点评:中档题,参数方程化为普通方程,常用的“消参”方法有,代入消参、加减消参、平方关系消参等。利用参数方程,往往会将问题转化成三角函数问题,利用三角公式及三角函数的图象和性质,化难为易。极坐标方程化为普通方程,常用的公式有,,
等。
(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点
作圆的切线,则切线的直角坐标方程是 .
正确答案
.
略
设极点与原点重合,极轴与轴正半轴重合.已知曲线C1的极坐标方程是:
,曲线C2参数方程为:
(θ为参数),若两曲线有公共点,则实数m的取值范围是 .
正确答案
[-1,3]
将两曲线方程化为直角坐标坐标方程,得C1:,C2:
.
因为两曲线有公共点,所以,即-1≤m≤3,故m∈[-1,3].
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(参数
),圆
的参数方程为
(参数
),则圆
的圆心坐标为 ,圆心到直线
的距离为 .
正确答案
(0,2);.
将消去参数得方程
,圆
的圆心坐标为
(0,2). 将去参数得方程为x+y-6=0,利用点到直线的距离公式得d=
.
已知圆的极坐标方程是
,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线
的参数方程是
(
是参数).若直线
与圆
相切,求实数
的值.
正确答案
试题分析:先将圆的极坐标方程及直线的参数方程
化为直角坐标方程
及
,再利用直线与圆相切的充要条件:圆心到直线距离等于半径,得
试题解析:由得圆
的方程为
,4分;又由
,得
,
直线
与圆
相切,
,
. 10分
(本小题满分12分)平面上有两点A(-1,0),B(1,0),P为圆上的一点,试求
的最大值与最小值,并求相应的P点坐标.
正确答案
解:已知圆的一般方程化为标准方程得,设点P的坐标为
,则
.……………………2分
点P
在已知圆上,
…………………………………6分
………………………………
…8分
的最大值是100,这时点P的坐标是
.S的最小值是20,这时点P的坐标是(
). ………………………………12分
略
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