曲线的参数方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ-）=6，圆C的参数方程为．直线l被圆截得的弦长______．

正确答案

16

解析

解：由ρsin（θ-）=6，得

，

即，

则 ①．

再由，平方作和得：x2+y2=100 ②．

联立①②得：．

则．

∴直线l被圆截得的弦长为：．

故答案为：16．

1

题型：单选题

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单选题

圆的圆心坐标是（　　）

A（0，2）

B（2，0）

C（0，-2）

D（-2，0）

正确答案

A

解析

解：∵圆，利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为直角直角坐标方程为 x2+（y-2）2=4，

故圆心坐标为（0，2），

故选A．

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题型：填空题

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填空题

若直线x+y=m与圆（φ为参数，m＞0）相切，则m为 ______．

正确答案

2

解析

解：圆的圆心为（0，0），半径为

∵直线x+y=m与圆相切，

∴d=r即，解得m=2

故答案为：2

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题型：填空题

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填空题

已知直线为参数）交于A、B两点，则|AB|=______．

正确答案

2

解析

解：直线l：（t为参数），即 x-y-2=0，

曲线（θ为参数）即 x2+y2=4，圆心（0，0）到直线的距离为d==，

故弦长|AB|=2=2=2，

故答案为：2．

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题型：单选题

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单选题

直线xcosα+ysinα-sinα-3=0与曲线的位置关系是（　　）

A相交

B相切

C相离

D不确定

正确答案

B

解析

解：易知该曲线为圆心在（0，1），半径为3的圆．

又由点到直线的距离公式d==3=r，

所以直线与圆相切．

故选B

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题型：简答题

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简答题

已知点P（x，y）在圆x2+y2=1上，求及y-2x的取值范围．

正确答案

解：设，

∴y=kx+2k，

∴kx-y+2k=0，

圆心到直线的距离为d=，

∴-≤k≤，

∴的取值范围[-，]．

再设圆的参数方程为：

，

∴y-2x=sinθ-2cosθ

=sin（θ-φ），

∴y-2x的取值范围[-，]．

解析

解：设，

∴y=kx+2k，

∴kx-y+2k=0，

圆心到直线的距离为d=，

∴-≤k≤，

∴的取值范围[-，]．

再设圆的参数方程为：

，

∴y-2x=sinθ-2cosθ

=sin（θ-φ），

∴y-2x的取值范围[-，]．

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题型：填空题

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填空题

已知曲线C：（θ为参数）和直线：（为参数），则曲线C上的点到直线距离的最小值为______．

正确答案

解析

解：由曲线C：，得圆的方程为（x+1）2+y2=1，

所以圆心C（-1，0），半径为1．

由直线：，得直线的一般方程为．

圆心C到直线的距离d=．

所以，曲线C上的点到直线距离的最小值为．

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

（1）参数方程与极坐标：求点M（2，）到直线ρ=上点A的距离的最小值．

（2）曲线关于直线y=1对称的曲线的参数方程是______．

正确答案

解：（1）M点的直角坐标为（1，）

直线的直角坐标方程为：x+y-=0

点M（1，）到直线x+y-=0上点A的距离的最小值为d

则

点M（2，）到直线ρ=上点A的距离的最小值为

（2）消去参数θ得：

（x+1）2+y2=1，它关于直线y=1对称的曲线的方程是（x+1）2+（y-2）2=1，

化成参数方程为：，故答案为：．

解析

解：（1）M点的直角坐标为（1，）

直线的直角坐标方程为：x+y-=0

点M（1，）到直线x+y-=0上点A的距离的最小值为d

则

点M（2，）到直线ρ=上点A的距离的最小值为

（2）消去参数θ得：

（x+1）2+y2=1，它关于直线y=1对称的曲线的方程是（x+1）2+（y-2）2=1，

化成参数方程为：，故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，已知圆M的方程为x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α为参数），直线l的参数方程为为参数）

（I）求圆M的圆心的轨迹C的参数方程，并说明它表示什么曲线；

（II）求直线l被轨迹C截得的最大弦长．

正确答案

解：（Ⅰ）∵圆M的方程为x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α为参数），

配方得（x-2cosα）2+（y-sinα）2=1，

∴圆M的圆心（x，y）的轨迹C的参数方程为（α为参数），

变为，y=sinα，

将上两式分别平方相加得，

∴圆心（x，y）的轨迹C为：焦点在x轴上，长半轴长是2，短半轴长是1的椭圆．

（Ⅱ）直线l的参数方程为为参数），

令t=0，则x=0，y=1，∴（0，1）在直线l上，并且是圆M的圆心的轨迹椭圆的短轴的上顶点，

设点P（2cosα，sinα）是直线l与椭圆相交的另一个交点，

则弦长|PQ|的平方|PQ|2=（2cosα-0）2+（sinα-1）2=-3sin2α-2sinα+5

=，

∵-1≤sinα≤1，∴当时，上式的最大值为．

即弦长|PQ|的最大值为．

解析

解：（Ⅰ）∵圆M的方程为x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α为参数），

配方得（x-2cosα）2+（y-sinα）2=1，

∴圆M的圆心（x，y）的轨迹C的参数方程为（α为参数），

变为，y=sinα，

将上两式分别平方相加得，

∴圆心（x，y）的轨迹C为：焦点在x轴上，长半轴长是2，短半轴长是1的椭圆．

（Ⅱ）直线l的参数方程为为参数），

令t=0，则x=0，y=1，∴（0，1）在直线l上，并且是圆M的圆心的轨迹椭圆的短轴的上顶点，

设点P（2cosα，sinα）是直线l与椭圆相交的另一个交点，

则弦长|PQ|的平方|PQ|2=（2cosα-0）2+（sinα-1）2=-3sin2α-2sinα+5

=，

∵-1≤sinα≤1，∴当时，上式的最大值为．

即弦长|PQ|的最大值为．

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题型：单选题

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单选题

已知直线x+y=a与圆交于A、B两点，且，其中O为坐标原点，则实数a的值等于（　　）

A2

B

C±2

D

正确答案

C

解析

解：∵，其中O为坐标原点

∴

∵已知直线x+y=a与圆交于A、B两点

∴△OAB为等腰直角三角形

设圆心到直线的距离为d，

∵圆消去参数可得x2+y2=4

∴

∵

∴

∴|a|=2

∴a=±2

故选C．

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