曲线的参数方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，设圆（θ为参数）上的点到直线ρ（cosθ-sinθ）=的距离为d，则d的最大值是______．

正确答案

解析

解：由得，．

由ρ（cosθ-sinθ）=，得：

，

即．

化为一般式得：．

圆心（0，0）到直线的距离d=．

∴圆上的点到直线的距离的最大值为．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（φ为参数）．

（Ⅰ）将C1的方程化为普通方程；

（Ⅱ）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C2的极坐标方程是θ=（ρ∈R），求曲线C1与C2交点的极坐标．

正确答案

解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程是（φ为参数）．利用平方关系消去参数φ可得：

C1的普通方程为：（x-2）2+y2=4，

（Ⅱ）如图，设圆心为A，∵原点O在圆上，

设C1与C2相交于O、B，取线段OB中点C，∵直线OB倾斜角为，OA=2，

∴OC=1 从而OB=2，

∴O、B的极坐标分别为．

解析

解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程是（φ为参数）．利用平方关系消去参数φ可得：

C1的普通方程为：（x-2）2+y2=4，

（Ⅱ）如图，设圆心为A，∵原点O在圆上，

设C1与C2相交于O、B，取线段OB中点C，∵直线OB倾斜角为，OA=2，

∴OC=1 从而OB=2，

∴O、B的极坐标分别为．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）已知圆C的参数方程为（α为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=2，则直线l与圆C的公共点的直角坐标为______．

正确答案

（1，2）

解析

解：由圆C的参数方程为（α为参数），消去参数α化为普通方程：（x-1）2+y2=4，

直线l的极坐标方程为ρsinθ=2，的直角坐标方程为：y=2；

解方程组，可得．

则直线l与圆C的公共点的直角坐标为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．直线l经过点P（2，2），倾斜角．

（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程．

（2）设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

正确答案

解：（1）∵C的参数方程为为参数），利用sin2θ+cos2θ=1，消去参数可得 x2+y2=16．

由于l经过点P（2，2），倾斜角，可得直线l的参数方程．

（2）把l的参数方程代入圆的方程x2+y2=16 可得

t2+2（+1）t-8=0，∴t1•t2=-8，∴|PA|•|PB|=8．

解析

解：（1）∵C的参数方程为为参数），利用sin2θ+cos2θ=1，消去参数可得 x2+y2=16．

由于l经过点P（2，2），倾斜角，可得直线l的参数方程．

（2）把l的参数方程代入圆的方程x2+y2=16 可得

t2+2（+1）t-8=0，∴t1•t2=-8，∴|PA|•|PB|=8．

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题型：简答题

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简答题

以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线L的极坐标方程为ρcos（θ+）+8=0，圆C的参数方程为（α为参数且α∈R），若直线L上的点到圆C上的点的最短距离为6，求实数k的值．

正确答案

解：∵直线L的极坐标方程为ρcos（θ+）+8=0，

∴x-y+8=0，

∵圆C的参数方程为，

∴（x-k）2+（y+k）2=k2，

圆心为（k，-k），

圆心到直线的距离为：d==|k+8|=6+|k|，

∴k=-1，

实数k的值-1．

解析

解：∵直线L的极坐标方程为ρcos（θ+）+8=0，

∴x-y+8=0，

∵圆C的参数方程为，

∴（x-k）2+（y+k）2=k2，

圆心为（k，-k），

圆心到直线的距离为：d==|k+8|=6+|k|，

∴k=-1，

实数k的值-1．

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题型：填空题

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填空题

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴并取相同的长度单位建立极坐标系，若直线与曲线C：相交于A，B两点，则线段AB的长为______．

正确答案

2

解析

解：∵，ρcosθ=x，ρsinθ=y，进行化简

∴x+y-2=0

相消去α可得

圆的方程（x-2）2+（y-2）2=9得到圆心（2，2），半径r=3，

所以圆心（2，2）到直线的距离d==，

所以|AB|=2 =2=2

∴线段AB的长为2

故答案为：2

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），圆C的参数方程是（θ为参数），直线l与圆交于两个不同的点A，B，点P在圆C上运动，求△PAB的面积的最大值．

正确答案

解：直线l的参数办程是（t为参数），化为普通方程为 x+y-1=0，

圆C的参数方程是（θ为参数），化为普通方程为 x2+y2=1，

由求得．或，故A（1，0）、B（0，1）．

设点P（cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，

则点P到直线l的距离为 d==，

故当θ=时，d最大为 1+，

故△PAB的面积的最大值为 AB•d==．

解析

解：直线l的参数办程是（t为参数），化为普通方程为 x+y-1=0，

圆C的参数方程是（θ为参数），化为普通方程为 x2+y2=1，

由求得．或，故A（1，0）、B（0，1）．

设点P（cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，

则点P到直线l的距离为 d==，

故当θ=时，d最大为 1+，

故△PAB的面积的最大值为 AB•d==．

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的参数方程为（参数α∈[0，2π]），直线l的极坐标方程为=，则直线l被圆C截得的弦长为______．

正确答案

解析

解：直线=，化成直角坐标系下的方程为x-y-3=0

C的参数方程为（参数α∈[0，2π]），化为（x-1）2+（y+1）2=1

圆心到直线的距离为d=，

∴则直线l被圆C截得的弦长为2=．

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

（极坐标与参数方程）在同一直角坐标系中，若曲线C：（α为参数）与曲线D：（t为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是______．

正确答案

（，+∞）∪（-∞，-4）

解析

解：曲线C：（α为参数）即（x-m）2+y2=4，表示以M（m，0）为圆心，以2为半径的圆．

曲线D：（t为参数）用代入法消去参数t，可得 3x+4y+2=0，表示一条直线．

由题意可得圆和直线没有公共点，相离，故圆心到直线的距离大于半径，即＞2，

解得m＞或，m＜-4，

故答案为（，+∞）∪（-∞，-4）．

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题型：填空题

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填空题

圆C：（θ为参数）的半径为 ______，若圆C与直线x-y+m=0相切，则m=______．

正确答案

3或-1

解析

解：圆C：（θ为参数）

∴圆的普通方程为（x-1）2+（y-2）2=2

∴圆的半径为

∵圆C与直线x-y+m=0相切，

∴d==解得，m=3或-1

故答案为：，3或-1

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