曲线的参数方程_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

已知圆的参数方程：（θ是参数）．

（1）求圆的圆心坐标和半径；

（2）设圆上的动点P（x，y），求z=x+y的最大值．

正确答案

解：（1）由圆的参数方程：（θ是参数），可得（x-2）2+（y+1）2=4．

∴圆的圆心坐标为（2，-1），半径r=2；

（2）设x=2+2cosθ，y=-1+2sinθ，θ∈[0，2π）．

则z=x+y=2+2cosθ-1+2sinθ=2+1+1，

当=1即θ=或时取等号．

∴z=x+y的最大值为+1．

解析

解：（1）由圆的参数方程：（θ是参数），可得（x-2）2+（y+1）2=4．

∴圆的圆心坐标为（2，-1），半径r=2；

（2）设x=2+2cosθ，y=-1+2sinθ，θ∈[0，2π）．

则z=x+y=2+2cosθ-1+2sinθ=2+1+1，

当=1即θ=或时取等号．

∴z=x+y的最大值为+1．

1

题型：简答题

|

简答题

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（t是参数0≤a＜x）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）当α=时，曲线C1和C2相交于M、N两点，求以线段MN为直径的圆的直角坐标方程．

正确答案

解：（1）对于曲线C1消去参数t得：

当α≠时，y-1=tanα（x-2）；当α=时，x=2．（3分）

对于曲线C2：ρ2+ρ2cos2θ=2，∴x2+y2+x2=2，则x2+=1．（5分）

（2）当α=时，曲线C1的方程为x-y-1=0，联立C1，C2的方程消去y得3x2-2x-1=0，

∴|MN|=×=，圆心为（，-），

从而所求圆方程为（x-）2+（y+）2=．（10分）

解析

解：（1）对于曲线C1消去参数t得：

当α≠时，y-1=tanα（x-2）；当α=时，x=2．（3分）

对于曲线C2：ρ2+ρ2cos2θ=2，∴x2+y2+x2=2，则x2+=1．（5分）

（2）当α=时，曲线C1的方程为x-y-1=0，联立C1，C2的方程消去y得3x2-2x-1=0，

∴|MN|=×=，圆心为（，-），

从而所求圆方程为（x-）2+（y+）2=．（10分）

1

题型：填空题

|

填空题

已知点p（x，y）是圆x2+y2-2y=0的动点，则3x+4y的最大值______．

正确答案

9

解析

解：圆的标准方程为x2+（y-1）2=1，

设P（cosα，1+sinα），则

3x+4y=3cosα+4sinα+4=5cos（α+θ）+4其中tanθ=，

∴3x+4y的最大值为9

故答案为：9．

1

题型：简答题

|

简答题

已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2sinθ．

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C1与C2交点的极坐标（p≥0，0≤θ＜2π）．

正确答案

解：（1）把曲线C1：的参数他消去可得：（x-1）2+（y-1）2=2，即x2+y2-2x-2y=0．

把代入可得ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=0．即为C1的极坐标方程．

（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，化为普通方程：x2+y2-2y=0．

联立，解得或．

∴极坐标分别为（0，0），．

解析

解：（1）把曲线C1：的参数他消去可得：（x-1）2+（y-1）2=2，即x2+y2-2x-2y=0．

把代入可得ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=0．即为C1的极坐标方程．

（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，化为普通方程：x2+y2-2y=0．

联立，解得或．

∴极坐标分别为（0，0），．

1

题型：单选题

|

单选题

已知实数x、y满足，，则的取值范围是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：由题意，

设，

∴=

令g′（x）=0，则1-2cosθ=0

∵0≤θ≤π

∴

∴函数在上单调减，在上单调增

∴时，函数取得最小值为

∵

∴θ取0或π时，函数取得最大值为0

∴的取值范围是

故选A．

1

题型：简答题

|

简答题

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α是参数）．若以O为极点、x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．

正确答案

解：求得圆C的直角坐标方程为 x2+（y-1）2=1，表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆．

把x=ρcosθ y=ρsinθ 代入化简可得（ρcosθ）2+（ρsinθ-1）2=1，

即 ρ=2sinθ．

解析

解：求得圆C的直角坐标方程为 x2+（y-1）2=1，表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆．

把x=ρcosθ y=ρsinθ 代入化简可得（ρcosθ）2+（ρsinθ-1）2=1，

即 ρ=2sinθ．

1

题型：单选题

|

单选题

已知点（m，n）在曲线（α为参数）上，点（x，y）在曲线（β为参数）上，则mx+ny的最大值为（　　）

A12

B15

C24

D30

正确答案

A

解析

解：方程可化为x2+y2=6，由题意得m2+n2=6，

方程可化为x2+y2=24，

从而（x2+y2）（m2+n2）=（mx）2+（ny）2+（my）2+（nx）2

≥（mx）2+（ny）2+2my•nx=（mx+ny）2，

即6×24≥（mx+ny）2，得mx+ny≤|mx+ny|≤12，

所以mx+ny≤12，

当且仅当my=nx，mx+ny≥0时，mx+ny有最大值12．

故选：A．

1

题型：简答题

|

简答题

在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（2，2），倾斜角．

（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程；

（2）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

正确答案

解：（1）∵C的参数方程为（θ为参数），

∴圆的标准方程为x2+y2=16．

∵直线l经过点P（2，2），倾斜角，

∴直线l的参数方程为（t为参数）

（2）把直线的方程代入x2+y2=16，

得t2+2（+1）t-8=0，

设t1，t2是方程的两个实根，则t1t2=-8，∴|PA|•|PB|=8．

解析

解：（1）∵C的参数方程为（θ为参数），

∴圆的标准方程为x2+y2=16．

∵直线l经过点P（2，2），倾斜角，

∴直线l的参数方程为（t为参数）

（2）把直线的方程代入x2+y2=16，

得t2+2（+1）t-8=0，

设t1，t2是方程的两个实根，则t1t2=-8，∴|PA|•|PB|=8．

1

题型：简答题

|

简答题

已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．

（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1分）

∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）

∴该直线的直角坐标方程为：x+y-1=0．（3分）

（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4（4分）

圆心M（0，-2）到直线x+y-1=0的距离．（5分）

所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）

解析

解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1分）

∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）

∴该直线的直角坐标方程为：x+y-1=0．（3分）

（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4（4分）

圆心M（0，-2）到直线x+y-1=0的距离．（5分）

所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）

1

题型：单选题

|

单选题

圆C的方程为（x-2）2+y2=4，圆M的方程为（x-2-5cosθ）2+（y-5sinθ）2=1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别是E，F，则的最小值是（　　）

A12

B10

C6

D5

正确答案

C

解析

解：（x-2）2+y2=4的圆心C（2，0），半径等于2，

圆M （x-2-5cosθ）2+（y-5sinθ）2=1，

圆心M（2+5cosθ，5sinθ），半径等于1．

∵|CM|==5＞2+1，故两圆相离．

∵=•cos∠EPF，要使最小，需最小，且∠EPF 最大，

如图所示，设直线CM 和圆M交于H、G两点，则的最小值是．

|H C|=|CM|-1=5-1=4，|H E|===2，

sin∠CHE==，

∴cos∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin2∠CHE=，

∴=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2×2×=6，

故选 C．

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析