曲线的参数方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系中，已知点P（x，y）．O为坐标原点．

（1）若（其中a、b、r是常数，且r＞0），求证：（x-a）2+（y-b）2=r2．

（2）若点A（2，4），M（2x-1，22y-1），N（4y，2x），，求u=的取值范围．

正确答案

解：（1）由sin2θ+cos2θ=1 消去θ即得（x-a）2+（y-b）2=r2．

（2）由，可得 x（x-2）+y（y-4）=-1，∴（x-1）2+（y-2）2=4．

令x=1+2cosθ，y=2+2sinθ，又u==2x-1•4y +22y-1•2x =2x+2y ，

又x+2y=5+2cosθ+4sinθ=5+2 sin（θ+∅），cos∅=，sin∅=，

∴，∴u的取值范围为．

解析

解：（1）由sin2θ+cos2θ=1 消去θ即得（x-a）2+（y-b）2=r2．

（2）由，可得 x（x-2）+y（y-4）=-1，∴（x-1）2+（y-2）2=4．

令x=1+2cosθ，y=2+2sinθ，又u==2x-1•4y +22y-1•2x =2x+2y ，

又x+2y=5+2cosθ+4sinθ=5+2 sin（θ+∅），cos∅=，sin∅=，

∴，∴u的取值范围为．

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题型：单选题

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单选题

已知曲线C1=：x2+y2-2x+2y=0和曲线C2：（θ为参数）关于直线l1．对称，直线l2过点（，-1）且与l1的夹角为60°，则直线l2的方程为（　　）

Ay=x-4

Bx=或y=-

Cy=-

Dx=或y=x-4

正确答案

B

解析

解：曲线C2：（θ为参数）化为直角坐标方程为x2+（y-2）2=4，又曲线C1：x2+y2-2x+2y=0，k2

两方程相减得直线l1：x-y=0．

设直线l1，l2的斜率分别为 k1，k2，l1与l2的夹角为θ=60°，

则k1=．

则tan60°==，解得k2=0

另外，当直线l2的斜率不存在时，即l2的方程为：x=也符合要求，

则直线l2的方程为：x=或y=-

故选B．

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题型：简答题

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简答题

已知x、y∈R，且x2+y2=2，求x+y的取值范围．

正确答案

解：∵x2+y2=2，

∴可设x=cosα，

y=sinα，

∴x+y=（sinα+cosα）

=2sin（α+）

∴x+y有最大值为2，最小值为-2，

∴x+y的取值范围[-2，2]．

解析

解：∵x2+y2=2，

∴可设x=cosα，

y=sinα，

∴x+y=（sinα+cosα）

=2sin（α+）

∴x+y有最大值为2，最小值为-2，

∴x+y的取值范围[-2，2]．

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题型：单选题

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单选题

已知圆的焦点，C为圆的圆心，则|CF|等于（　　）

A6

B4

C2

D0

正确答案

C

解析

解：∵x=-3+2sinθ，y=2cosθ，

∴x+3=2sinθ，y=2cosθ，将方程两边平方再相加，

∴（x+3）2+y2=4，∴G（-3，0），

∵F为抛物线y2=-4x的焦点，

∴F（-1，0），

∴|GF|==2，

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C1：（t为参数，C2：（θ为参数）．

（Ⅰ）C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．

正确答案

解：（1）对于曲线C1：（t为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数t，可得（x+4）2+（y-3）2=1；表示以（-4，3）为圆心，1为半径的圆；

对于曲线 C2：（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，可得．表示焦点在x轴上的一个椭圆．

（2）若C1上的点P对应的参数为t=，则点P的坐标为（-4，4），

设Q（6cosθ，2sinθ）为C2上的动点，则PQ中点M（ 3cosθ-2，sinθ+2）．

直线C3：（t为参数）即 x+y+6=0．

∴点M到直线C3：x+y+6=0的距离为 d==≥3．

当sin（θ+）=-1时等号成立；所以d的最小值为3-1

解析

解：（1）对于曲线C1：（t为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数t，可得（x+4）2+（y-3）2=1；表示以（-4，3）为圆心，1为半径的圆；

对于曲线 C2：（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，可得．表示焦点在x轴上的一个椭圆．

（2）若C1上的点P对应的参数为t=，则点P的坐标为（-4，4），

设Q（6cosθ，2sinθ）为C2上的动点，则PQ中点M（ 3cosθ-2，sinθ+2）．

直线C3：（t为参数）即 x+y+6=0．

∴点M到直线C3：x+y+6=0的距离为 d==≥3．

当sin（θ+）=-1时等号成立；所以d的最小值为3-1

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题型：单选题

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单选题

直线x+y=1与曲线（θ为参数）的公共点有（　　）个．

A0

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

解：曲线（θ为参数）的直角坐标方程为 x2+y2=4，表示以原点O为圆心，半径等于2的圆．

圆心到直线x+y=1的距离为 =，小于半径2，故直线和圆相交，

故直线x+y=1与曲线（θ为参数）的公共点有2个，

故答案为 2．

1

题型：单选题

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单选题

已知x、y使方程x2+y2-2x-4y+4=0，则的最小值是（　　）

A

B

C2

D3

正确答案

B

解析

解：由已知（x-1）2+（y-2）2=1

令x=1+cosθ，y=2+sinθ

则=

当时，最小值为：，

故选B．

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题型：填空题

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填空题

设y=tx（t为参数）则圆x2+y2-4y=0的参数方程为______．

正确答案

解析

解：把y=tx代入圆x2+y2-4y=0，求得x=，∴y=，

故参数方程为，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为，

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程：

（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值．

正确答案

解：（I ）由，得（ρsinθ）2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为y2=2x．

（II）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2α-2tcosα-1=0

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则

t1+t2=，t1t2=

∴|AB|=|t1-t2|===

当时，sin2α取得最大值1，从而|AB|的最小值为2．

解析

解：（I ）由，得（ρsinθ）2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为y2=2x．

（II）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2α-2tcosα-1=0

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则

t1+t2=，t1t2=

∴|AB|=|t1-t2|===

当时，sin2α取得最大值1，从而|AB|的最小值为2．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）

如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2-x=0的参数方程为______．

正确答案

，θ∈R，且θ≠

解析

解：将圆方程化为（x-）2+y2=，可得半径r=，

∴OP=2r•cosθ=cosθ，

∴x=OP•cosθ=cos2θ，y=OP•sinθ=sinθcosθ，

则圆的参数方程为，θ∈R，且θ≠．

故答案为：，θ∈R，且θ≠

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