曲线的参数方程
共1154题

曲线的参数方程
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题型：填空题

填空题

若直线l：y=kx与曲线C：（参数θ∈R）有唯一的公共点，则实数k=______．

正确答案

曲线C：（参数θ∈R）即（x-2）2+y2=1，表示圆心在（2，0），半径等于1的圆．

由题意知，圆心到直线的距离等于半径1，即 =1，

∴k=±，

故答案为±．

题型：简答题

简答题

设P（x，y）是曲线C：（θ为参数，0≤θ≤2π）上任意一点，求的取值范围．

正确答案

曲线C的方程可化为（x+2）2+y2=1，（3分）

可见曲线C是以点C（-2，0）为圆心半径为1的圆（4分）

设点P（x，y）为曲线C上一动点，

则=kOP，即O、P两点连线的斜率（6分）

当P的坐标为(- ，)时，有最小值为-，

当P的坐标为(- ，-)时，有最大值为，（9分）

所以的取值范围是[-，]（10分）

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b≥0），其离心率为，两准线之间的距离为．

（1）求a，b之值；

（2）设点A坐标为（6，0），B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程．

正确答案

（1）设c为椭圆的焦半径，则=，=，于是有a=5，c=4，∴b=3．

（2）解法一：设B点坐标为（s，t），P点坐标为（x，y）．

于是有=(s-6，t)，=(x-6，y)．

因为⊥，所以有（s-6，t）（x-6，y）=（s-6）（x-6）+ty=0． ①

又因为△ABP为等腰直角三角形，所以有|AB|=|AP|，即=． ②

由①推出s-6=-⇒(s-6)2=，代入②得t2=（x-6）2

从而有 y2=（s-6）2，即s=6+y（不合题意，舍去）或s=6-y．

代入椭圆方程，即得动点P的轨迹方程+=1．

解法二：设B（x1，y1），P（x，y），|AB|=r，则以A为圆心，r为半径的圆的参数方程为．

设AB与x轴正方向夹角为θ，B点的参数表示为，

P点的参数表示为，即．

从上面两式，得到．

又由于B点在椭圆上，可得+=1．

此即为P点的轨迹方程．

题型：填空题

填空题

（选做题）（坐标系与参数方程）曲线（α为参数）与曲线ρ2-2ρcosθ=0的直角坐标方程分别为______与______，两条曲线的交点个数为______个．

正确答案

由题设知：把参数方程消去参数化为普通方程得 x2+（y-1）2=1，

把极坐标方程化为直角方程得 x2+y2-2x=0，即（x-1）2+y2=1；

两圆心距为，且0=1-1＜＜1+1=2，故两圆相交，故有2个公共点．

故答案为 x2+（y-1）2=1，（x-1）2+y2=1，2．

题型：简答题

简答题

过坐标原点O做C：xsinα-ycosα-sinα=0的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

正确答案

∵C的普通方程为．xsinα-ycosα-sinα=0，

∴A点坐标为（sin2α，-cosαsinα），

故当α变化时，P点轨迹的参数方程为（α为参数）

P点轨迹的普通方程为(x-)2+y2=．

故P点是圆心为(，0)，半径为的圆．

题型：填空题

填空题

若直线x+y-a=0与圆（θ为参数）没有公共点，则a的取值范围是 ______．

正确答案

圆的普通方程是：(x-

)2+(y-1)2=1

圆心到直线的距离是：d=

∵直线与圆没有公共点

∴d＞r

∴d=＞1

∴a＞6或a＜2

故答案为：（-∞，2）∪（6，+∞）

题型：填空题

填空题

（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，圆以C的参数方程是（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆心C的极坐标是______．

正确答案

由圆C的参数方程是（θ为参数），消去参数θ，化为(x-)2+(y-1)2=1，∴圆心C(，1)．

∴ρ==2，tanθ==，又点C在第一象限，∴θ=．

∴以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆心C的极坐标是(2，)．

故答案为(2，)．

题型：简答题

简答题

（选修4-4：坐标与参数方程）

以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．

已知直线ι的极坐标方程为ρsin(θ-)=6，圆C的参数方程为（θ为参数），求直线ι被圆C截得的弦长．

正确答案

∵直线l的极坐标方程为ρsin(θ-)=6，即ρsinθcos-ρcosθsin=6，

化为直角坐标方程为y-x=6即 x-y+12=0．

∵圆C的参数方程为利用同角三角函数的基本关系消去参数θ 可得x2+y2=100，

故圆的普通方程为x2+y2=100．

圆心（0，0）到求直线l的距离等于=6，半径等于10，

由弦长公式可得弦长等于 2=16．

题型：简答题

简答题

已知某圆的极坐标方程为ρ2-4ρcos（θ-）+6=0．

（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；

（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．（5分）

正确答案

（1）圆的极坐标方程为ρ2-4ρcos（θ-）+6=0，即 x2+y2-4x-4y+6=0；

其参数方程为（α为参数）．

（2）因为 x+y= 4+ cosα+sinα = 4+2sin(α+ )，所以其最大值为6，最小值为2．

题型：简答题

简答题

选做题：坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2cos(θ+)．

（1）将直线l的参数方程化为普通方程；将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，并写出圆心的极坐标．

（2）试判定直线l和圆C的位置关系．

正确答案

（1）l的普通方程：y+4=(x-1)（2分），

由ρ=2（cosθ-sinθ），得ρ2=2（ρcosθ-ρsinθ），故x2+y2=2x-2y，（4分）

圆心是（1，-1），其极坐标为（，-）（6分）

（2）圆心到直线的距离d=（8分）． d＞=r，所以直线l和圆C相离．（10分）

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