曲线的参数方程
共1154题

曲线的参数方程
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题型：填空题

填空题

已知圆C的参数方程为（φ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=1，则直线l与圆C的公共点的个数为______．

正确答案

∵圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数φ得x2+y2=1，∴圆心C（0，0），半径r=1；

由直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=1，展开得：ρcosθ-ρsinθ=1，∴x-y-=0．

∴圆心C（0，0）到直线l的距离d==1=r，

∴直线x-y-=0与圆x2+y2=1相切，

∴直线l与圆C的公共点的个数只有一个．

故答案为1．

题型：简答题

简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

平面直角坐标系xoy中，点A（2，0）在曲线C1：，（a＞0，φ为参数）上．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ=acosθ

（Ⅰ）求曲线C2的普通方程

（Ⅱ）已知点M，N的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ2，θ+），若点M，N都在曲线C1上，求+的值．

正确答案

（Ⅰ）∵点A（2，0）在曲线C1上，∴，

∵a＞0，∴a=2，∴ρ=2cosθ．

由，得（x-1）2+y2=1．

所以曲线C2的普通方程为（x-1）2+y2=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线C1：的普通方程为+y2=1．

由题意得点M，N的直角坐标分别为（ρ1cosθ，ρ1sinθ），(ρ2cos(θ+)，ρ2sin(θ+))．

∵点M，N在曲线C1 上，

∴+ρ12sin2θ=1，+ρ22cos2θ=1．

∴+=(+sin2θ)+(+cos2θ)=．

题型：简答题

简答题

已知点M在曲线C1：ρsin(θ-)=互上，点N在曲线C2：（α为参数）上，则|MN|的最大值为______．

正确答案

曲线C1：ρsin(θ-)=，化为ρsinθ-ρcosθ=，∴y-x=2．

由曲线C2：（α为参数），化为（x-1）2+（y+1）2=4．其圆心（1，-1），半径r=2．

则圆心到直线C1的距离d==2＞r=2，

∴圆C2的点到直线的最大距离为d+r=2+2．

故答案为2+2．

题型：填空题

填空题

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴并取相同的长度单位建立极坐标系，若直线ρcos(θ-)=与曲线C：，(α是参数)相交于A，B两点，则线段AB的长为______．

正确答案

∵ρcos(θ-)=，ρcosθ=x，ρsinθ=y，进行化简

∴x+y-2=0

，(α是参数)相消去α可得

圆的方程（x-2）2+（y-2）2=9得到圆心（2，2），半径r=3，

所以圆心（2，2）到直线的距离d==，

所以|AB|=2 =2=2

∴线段AB的长为2

故答案为：2

题型：填空题

填空题

（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是______．

正确答案

直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标系下的普通方程为y+x=1；

由圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ化为普通方程x2+（y-2）2=1，其圆心C（0，2），半径r=1．

直线l截圆C所得的弦长=2=．

故答案为．

题型：简答题

简答题

已知圆心为C的圆经过点（1，1）和（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上．

（1）求圆心为C的圆的标准方程；

（2）已知点A是圆心为C的圆上动点，B（2，1），求|AB|的取值范围．

正确答案

（1）设圆心C（a，a+1），则

∵圆经过点（1，1）和（2，-2），

∴（a-1）2+a2=（a-2）2+（a-3）2=r2，

∴a=-3，r=5，

∴圆的标准方程为（x+3）2+（y+2）2=25；

（2）设A（-3+5cosα，-2+5sinα），则

∵B（2，1），

∴|AB|==，

∴|AB|的取值范围为[，，即[-5，+5]．

题型：简答题

简答题

已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．

（I）将曲线C的参数方程转化为普通方程；

（II）若直线l与曲线C相交于A、B两点，试求线段AB的长．

正确答案

（I）由得故圆的方程为x2+y2=16．

（II）把代入方程x2+y2=16，得t2+8t+36=0

∴线段AB的长为|AB|=|t1-t2|==4．

题型：简答题

简答题

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，设l与曲线（θ为参数）交于两点A、B，求点P到A，B两点的距离之积．

正确答案

由已知得直线l的参数方程为（t为参数），

即（t为参数）．（3分）

曲线的普通方程为x2+y2=4．（6分）

把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得

t2+（+1）t-2=0，

∴t1t2=-2，（8分）

∴点P到A，B两点的距离之积为2．（10分）

题型：简答题

简答题

已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．

（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；

（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．

正确答案

（1）将等式两边同时平方 x2=16cos2θ，y2=16sin2θ

然后相加即可求出曲线C的参数方程化成普通方程x2+y2=16

（2）将代入方程x2+y2=16，并整理得t2+3t-9=0

设A、B对应的参数为t1，t2，则t1+t2=-3，t1t2=-9，

|AB|=|t1-t2|=3

题型：简答题

简答题

求圆C(θ为参数)的圆心坐标，和圆C关于直线x-y=0对称的圆C′的普通方程．

正确答案

圆C(θ为参数) 即（x-3）2+（y+2）2=16，表示圆心坐标（3，-2），半径等于4的圆．

C（3，-2）关于直线x-y=0对称的点C′（-2，3），半径还是4，

故圆C′的普通方程（x+2）2+（y-3）2=16．

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