曲线的参数方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(θ为参数r＞0)以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρsin(θ+)=．

（I）求圆心的极坐标．

（II）若圆C上点到直线l的最大距离为3，求r的值．

正确答案

（I）圆的直角坐标方程：（x+)2+(y+)2=r2+(y+)2=1，

圆心坐标为C(-，-)，ρ==1，

∴圆心C在第三象限，θ=，

∴圆心极坐标为（1，）；

（II）∵圆C上点到直线l的最大距离dmax等于圆心C到l距离和半径之和，

l的直角坐标方程为：x+y-1=0，

∴dmax=+r=3，

∴r=2-．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程为ρcos(θ-)=，（余弦展开为+号，改题还是答案？）

（1）求曲线C1的极坐标方程及C2的直角坐标方程；

（2）点P为C1上任意一点，求P到C2距离的取值范围．

正确答案

（1）∵C1的直角坐标方程为x2+（y+2）2=4，∴C1的极坐标方程为ρ+4cosθ=0，

∵C2的极坐标方程为ρcos(θ-)=，展开为ρ(cosθ+sinθ)=，

∴ρcosθ+ρsinθ=2，

∴C2的直角坐标方程为x+y-2=0；

（2）由C2的参数方程为（α为参数），∴可设P（2cosα，2sinα-2）．

∴点P到直线C2的距离为d===2-2sin(α+)．

=|2-2sin(ϕ+)|，

∴点P到直线C2的距离的取值范围为[2-2，2+2]．

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题型：填空题

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填空题

直线l：ρcosθ=t（常数t＞0）与圆（θ为参数）相切，则t=______．

正确答案

直线l：ρcosθ=t（常数t＞0）化为x=t，

圆（θ为参数）化为x2+（y-1）2=1，∴圆心为C（0，1），半径r=1．

∵直线l与圆相切，∴1=，解得t=±1．

故答案为±1．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为______．

正确答案

由得y-1=sinα，x=cosα，

两式平方后相加得x2+（y-1）2=1，…（4分）

∴曲线C是以（0，1）为圆心，半径等于的圆．令x=ρcosθ，y=ρsinθ，

代入并整理得ρ=2sinθ．即曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ． …（10分）

故答案为：ρ=2sinθ．

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题型：简答题

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简答题

实数x，y满足x2+y2-4x-14y+45=0，求

（1）x2+y2+4x-6y的取值范围；

（2）的取值范围．

（3）x-2y取值范围．

正确答案

（1）将x2+y2-4x-14y+45=0，转化为标准形式（x-2）2+（y-7）2=8，令x=2+2cosα，y=7+2sinα

∴x2+y2+4x-6y=8（x+y）-45=27+32sin（α+）

∴-5≤x2+y2+4x-6y≤59；

（2）由（1）知，==

令z=，则zcosα-sinα=-z，∴||≤1

∴2-≤z≤2+

∴的取值范围为[2-，2+]；

（3）x-2y=-12+2cosα-4sinα=-12-2sin（α-θ）

∴-12-2≤x-2y≤-12+2．

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（θ是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为 ______．

正确答案

∵曲线C的参数方程是（θ是参数），

∴消去参数得：x2+（y-1）2=1，

即x2+y2=2y，

∴曲线C的极坐标方程可写为ρ2=2ρsinθ．

即：ρ=2sinθ．

故答案为：ρ=2sinθ．

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴为极轴）中，曲线C2的方程ρ（cosθ-sinθ）+2=0，C1与C2相交于两点A，B，则公共弦AB的长是______．

正确答案

由得x2+y2=4，

∴曲线C1的普通方程为得x2+y2=4，

∵ρ（cosθ-sinθ）+2=0，

∴x-y+2=0，

∴曲线C2的直角坐标方程为x-y+2=0．

∵圆C1的圆心为（0，0），

∵圆心（0，0）到直线x-y+2=0的距离d=，

又r=2，所以弦长AB=2=2．

∴弦AB的长度2，

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

（14题和15题二选一，选涂填题号，再做题．）

以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为θθθ=（p∈R），它与曲线相交于两点A和B，则|AB|=______．

正确答案

∵ρ=，

利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，进行化简

∴x-y=0

相消去α可得

圆的方程（x-1）2+（y-2）2=4得到圆心（1，2），半径r=2，

所以圆心（1，2）到直线的距离d==，

所以|AB|=2 =

∴线段AB的长为

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．

（I）当α=时，求C1与C2的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，且当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

正确答案

（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为x-y-1=0，C2的普通方程为x2+y2=1．

联立方程组，

解得C1与C2的交点为（1，0）、（-，-）．

（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0．

A点坐标为（sin2α，-cosαsinα），

故当α变化时，OA中点P点轨迹的参数方程为：（α为参数），

P点轨迹的普通方程（x-）2+y2=．

故P点轨迹是圆心为（，0），半径为的圆．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．

（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

正确答案

（1）由得（x+2）2+y2=10

∴曲线C1的普通方程为得（x+2）2+y2=10

∵ρ=2cosθ+6sinθ

∴ρ2=2ρcosθ+6ρsinθ

∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ

∴x2+y2=2x+6y，即（x-1）2+（y-3）2=10

∴曲线C2的直角坐标方程为（x-1）2+（y-3）2=10

（2）∵圆C1的圆心为（-2，0），圆C2的圆心为（1，3）

∴|C1C2|==3＜2

∴两圆相交

设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2

∴(

d

2

)2+(

3

2

)2=10

∴d=

∴公共弦长为

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正确答案

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