曲线的参数方程
共1154题

曲线的参数方程
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题型：简答题

简答题

已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ。

（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由。

正确答案

解：（1）由得（x+2）2+y2=10，

∴曲线C1的普通方程为得（x+2）2+y2=10，

∵ρ=2cosθ+6sinθ，

∴ρ2=2ρcosθ+6ρsinθ，

∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴x2+y2=2x+6y，

即（x-1）2+（y-3）2=10，

∴曲线C2的直角坐标方程为（x-1）2+（y-3）2=10；

（2）∵圆C1的圆心为（-2，0），圆C2的圆心为（1，3）

∴，

∴两圆相交设相交弦长为d，因为两圆半径相等，

所以公共弦平分线段C1C2∴

∴d=，

∴公共弦长为。

题型：简答题

简答题

曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ。

（1）化曲线C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P（m，0），经过点P作曲线C2的切线l，求切线l的方程。

正确答案

解：（1）曲线C1：；

曲线C2：

曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C2为圆心为（1，-2），半径为的圆；

（2）曲线C1与x轴的交点坐标为和，

因为，

所以点P的坐标为，

显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为，

由曲线C2为圆心为，半径为的圆得

，解得

所以切线l的方程为。

题型：简答题

简答题

（选作题）

已知圆方程为y2-6ysinθ+x2-8xcosθ+7cos2θ+8=0，

（1）求圆心轨迹的参数方程C；

（2）点P（x，y）是（1）中曲线C上的动点，求2x+y的取值范围。

正确答案

解：（1）将圆的方程整理得：（x-4cosθ）2+（y-3sinθ）2=1，

设圆心坐标为P（x，y），

则；

（2）2x+y=8cosθ+3sinθ=，

∴ -≤2x+y≤。

题型：简答题

简答题

已知⊙O的方程为（θ为参数），求⊙O上的点到直线（t为参数）的距离的最大值．

正确答案

将圆转化为普通方程为x2+y2=8，所以圆心为（0，0），半径r=2．

将直线转化为普通方程为x+y-2=0，

则圆心到直线的距离d===，

所以⊙O上的点到直线的距离的最大值为d+r=3．

题型：填空题

填空题

若直线（t∈R为参数）与圆（0≤θ＜2π，θ为参数，a为常数且a＞0）相切，则a=（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

设圆C的参数方程为（θ为参数），则点P（4，4）与圆C上的点的最近距离是（）。

正确答案

题型：简答题

简答题

已知直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-)

（1）求直线l的倾斜角；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

正确答案

（1）直线参数方程可以化，根据直线参数方程的意义，

这条经过点(0，)，倾斜角为60°的直线．

（2）l的直角坐标方程为y=x+，ρ=2cos(θ-)的直角坐标方程为(x-)2+(y-)2=1，

所以圆心(，)到直线l的距离d=，∴|AB|=．

题型：填空题

填空题

（选做题）圆C的参数方程为（α为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，则直线l与圆C的交点的直角坐标是（）。

正确答案

（0，1），（2，1）

题型：填空题

填空题

参数方程（m是参数）表示的曲线的普通方程是（）．

正确答案

x2+y2=1．

题型：填空题

填空题

在直角坐标系中圆C的参数方程为(θ为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心的极坐标为（）。

正确答案

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