曲线的参数方程
共1154题

曲线的参数方程
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题型：填空题

填空题

已知直线l：x-y+4=0与圆C：，则C上各点到l的距离的最小值为 ______．

正确答案

d==|(cosθ-sinθ)+2|=|2cos(θ+)+2|，

∴距离最小值为2-2．

故答案为：2-2．

题型：填空题

填空题

设曲C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x-3y+2=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为______．

正确答案

化曲线C的参数方程为普通方程：（x-2）2+（y+1）2=9，

∵圆心（2，-1）到直线x-3y+2=0的距离 d==＜3，

∴直线和圆相交，且过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，

又∵＞3-，

∴在直线l的另外一侧没有圆上的点符合要求，

故答案为：2．

题型：填空题

填空题

（选做题）直线被圆θ为参数，θ∈[0，2π））所截得的弦长为（）．

正确答案

题型：简答题

简答题

求点M（2，）到直线ρ=上点A的距离的最小值．

正确答案

M点的直角坐标为（1，）（2分）

直线的直角坐标方程为：x+y-=0（4分）

点M（1，）到直线x+y-=0上点A的距离的最小值为d

则d==

点M（2，）到直线ρ=上点A的距离的最小值为（6分）．

题型：简答题

简答题

（选做题）

已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）。

（I）将曲线C的参数方程转化为普通方程；

（II）若直线l与曲线C相交于A、B两点，试求线段AB的长。

正确答案

解：（I）由得，

故圆的方程为x2+y2=16；

（II）把代入方程x2+y2=16，

整理的，

设A，B对应的参数为t1，t2，则，，

。

题型：简答题

简答题

已知直线C1：（t为参数），圆C2：（θ为参数）。

（1）当时，求C1与C2的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

正确答案

解：（1）当时，C1的普通方程为

C2的普通方程为x2+y2=1

联立方程组

解得C1与C2的交点为（1，0），。

（2）C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0

A点坐标为（sin2α，-cosαsinα），

故当α变化时，P点轨迹的参数方程为（α为参数）

P点轨迹的普通方程为

故P点轨迹是圆心为，半径为的圆。

题型：简答题

简答题

已知曲线C1：（θ为参数），曲线C2：（t为参数），

（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′，写出C1′，C2′的参数方程，C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。

正确答案

解：（Ⅰ）C1是圆，C2是直线，

C1的普通方程为，半径r=1；

C2的普通方程为，

因为圆心C1到直线的距离为1，

所以C2与C1只有一个公共点．

（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为（θ为参数），

（t为参数），

化为普通方程为：，

联立消元得，

其判别式，

所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同。

题型：填空题

填空题

直线3x﹣4y﹣1=0被曲线（为参数）所截得的弦长为（）．

正确答案

题型：填空题

填空题

将参数方程（θ为参数）化为普通方程，所得方程是（）。

正确答案

题型：简答题

简答题

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=。

（1）写出直线l的参数方程；

（2）设l与圆（θ是参数）相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积。

正确答案

解：（1）直线l的参数方程是（t是参数）。

（2）因为点A，B都在直线l上，所以可设点A，B对应的参数分别为t1和t2

则点A，B的坐标分别为

将直线l的参数方程代入圆的方程

整理得到 ①

因为和是方程①的解，从而

所以。

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