幂函数图象及其与指数的关系
共44题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

15．设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为__________m3．

正确答案

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题型：填空题

填空题 · 4 分

6．集合，．若“a＝1”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是（）．

正确答案

解析

“a＝1”是“”的充分条件的意思是说当时，，现在，，由得或，即或，所以的范围是.

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题型：简答题

简答题 · 12 分

18．设函数在及时取得极值．

（1）求的值；

（2）当时，函数的图像恒在直线的下方，求c的取值范围。

正确答案

（1），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．

（2）当时，函数的图像恒在直线的下方，即，

又因为

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题型：简答题

简答题 · 14 分

21．已知函数图象上一点处的切线方程为．

（1）求的值；

（2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；

（3）令，若的图象与轴交于（其中），的中点为，求证：在处的导数

正确答案

（1）

且

解得

（2），令

则

令，得舍去）．

当时，当时是增函数；

当时，当时是减函数；

于是方程在内有两个不等实根的充要条件是：．

即

（3）由题意

假设结论不成立，则有：

①-②，得

由④得

，即⑤

令则

在（0，1）增函数，

⑤式不成立，与假设矛盾．

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题型：简答题

简答题 · 14 分

20．空气污染指数（API）是一种用于反映和评价空气质量的数量，我国计入空气污染指数的项目暂定为：总悬浮颗粒物（）、和．其计算公式为，其中为某污染物的污染指数，为该污染物的浓度；（）和（）分别是API分级限值表（附表）中最贴近（）值的两个限值．根据这个公式分别计算各污染物的API分指数；选取API分指数最大值为全市API，且该项污染物即为该市空气中的首要污染物
　　（1）若某地区的、和日均值分别为毫克/立方米，毫克/立方米和毫克/立方米，求空气污染指数API，并指出首要污染物；
　　（2）已知某地的首要污染物为，和的API分指数分别为和，政府对相关企业进行限排，减少和的污染，使得首要污染物变成了，且其分指数不超过，的API分指数低于的API分指数，求限排后和浓度的范围

正确答案

（1）设分别为和的污染指数，

分别为和的浓度

根据上表，对于，∵，

∴，

其API分指数为

同理的API分指数

的API分指数

由此可见，空气污染指数API为，首要污染物为总悬浮颗粒物

（2）依题意，，

解得

，解得

∴限排后和浓度的范围分别是和．

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题型：填空题

填空题 · 4 分

12．

正确答案

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题型：单选题

单选题 · 5 分

9. 已知函数的部分图象如图所示，为了得到的图像，只需将的图像（）

A向左平移个单位长度

B向左平移个单位长度

C向右平移个单位长度

D向右平移个单位长度

正确答案

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题型：简答题

简答题 · 12 分

20.如图，已知椭圆:的一个焦点是，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为.

（ⅰ）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；

（ⅱ）求△面积的取值范围.

正确答案

解：

（Ⅰ）因为椭圆的一个焦点是，所以半焦距.

椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.

所以，解得

所以椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）（i）设直线：与联立并消去

得： .记，，，.

由A关于轴的对称点为，得，

根据题设条件设定点为，得，即.

所以即定点

（ii）由（i）中判别式，解得.

可知直线过定点所以

得，令,记，得，

当时，.在上为增函数，

所以，得，

故△OA1B的面积取值范围是.

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题型：单选题

单选题 · 5 分

12．如果那么的取值范围是（）

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题型：单选题

单选题 · 5 分

2．为虚数单位，则复数的虚部为（　　）

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