幂函数图象及其与指数的关系
共44题

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题型：填空题

填空题 · 4 分

6．集合，．若“a＝1”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是（）．

正确答案

解析

“a＝1”是“”的充分条件的意思是说当时，，现在，，由得或，即或，所以的范围是.

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题型：简答题

简答题 · 12 分

18．设函数在及时取得极值．

（1）求的值；

（2）当时，函数的图像恒在直线的下方，求c的取值范围。

正确答案

（1），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．

（2）当时，函数的图像恒在直线的下方，即，

又因为

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题型：简答题

简答题 · 14 分

21．已知函数图象上一点处的切线方程为．

（1）求的值；

（2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；

（3）令，若的图象与轴交于（其中），的中点为，求证：在处的导数

正确答案

（1）

且

解得

（2），令

则

令，得舍去）．

当时，当时是增函数；

当时，当时是减函数；

于是方程在内有两个不等实根的充要条件是：．

即

（3）由题意

假设结论不成立，则有：

①-②，得

由④得

，即⑤

令则

在（0，1）增函数，

⑤式不成立，与假设矛盾．

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题型：简答题

简答题 · 14 分

20．空气污染指数（API）是一种用于反映和评价空气质量的数量，我国计入空气污染指数的项目暂定为：总悬浮颗粒物（）、和．其计算公式为，其中为某污染物的污染指数，为该污染物的浓度；（）和（）分别是API分级限值表（附表）中最贴近（）值的两个限值．根据这个公式分别计算各污染物的API分指数；选取API分指数最大值为全市API，且该项污染物即为该市空气中的首要污染物
　　（1）若某地区的、和日均值分别为毫克/立方米，毫克/立方米和毫克/立方米，求空气污染指数API，并指出首要污染物；
　　（2）已知某地的首要污染物为，和的API分指数分别为和，政府对相关企业进行限排，减少和的污染，使得首要污染物变成了，且其分指数不超过，的API分指数低于的API分指数，求限排后和浓度的范围

正确答案

（1）设分别为和的污染指数，

分别为和的浓度

根据上表，对于，∵，

∴，

其API分指数为

同理的API分指数

的API分指数

由此可见，空气污染指数API为，首要污染物为总悬浮颗粒物

（2）依题意，，

解得

，解得

∴限排后和浓度的范围分别是和．

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12．

正确答案

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