函数的单调性及单调区间
共78题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

对于定义在上的函数，下列正确的命题的序号是 ▲ 。

①若，则是上的单调增函数；②若，则不是上的单调减函数；

③若在区间、上都是单调增函数，则一定是上的单调增函数。

正确答案

②

解析

对于①：不符合单调增函数的定义；②正确；对于③：注意在处，若函数不连续时

该命题就不一定正确；

知识点

函数的单调性及单调区间

题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数.

（1）讨论的单调性。

（2）若有两个极值是和，过点，的直线的斜率为，问：是否存在，使得?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）的定义域为

令其判制式

当时，

故在上单调递增

当时，的两根都小于0，在上

故在上单调递增。

当时，，的两根为,

当时，，当时

当时.

故分别在，上单调递增，在上单调递减

（2）由（1）知

‍,

又由（1）知，，于是，

若存在m，使得，则

即

即………………. （*）

再由（1）知，函数

在上单调递增，而.

这与（*）式矛盾，故不存在m，使得.

知识点

函数的单调性及单调区间

题型：填空题

填空题 · 5 分

函数的单调减区间为　_________　。

正确答案

（∞，﹣1），（﹣1，+∞）

解析

函数的定义域x≠﹣1

∵函数===

＜恒成立

函数f（x）=的单调递减区间为：（∞，﹣1），（﹣1，+∞）

知识点

函数的单调性及单调区间

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若在点处的切线斜率为.

(i) 求的解析式；

(ii)求证：当.

正确答案

见解析

解析

解析：

（1）

①

∴

② 令

当时　由，

故

当时，同理可得增

当时， ∴增

（2）（i）由（1）知∴

（ii）

令

故当

当

综上所述，且时，

知识点

函数的单调性及单调区间

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数。

（1）求f（x）的定义域；

（2）求该函数的反函数f﹣1（x）；

（3）判断f﹣1（x）的奇偶性。

正确答案

见解析

解析

（1）。

故函数的定义域是（﹣1，1）

（2）由，得（y∈R），

所以，

所求反函数为f﹣1（x）=（x∈R）。

（3）f﹣1（﹣x）===﹣f﹣1（x），

所以f﹣1（x）是奇函数。

知识点

函数的单调性及单调区间

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