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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,E、F分别是AB、PD的中点.

(1)求证:AF//平面PCE;

(2)求证:平面平面PCD;

(3)求四面体PEFC的体积.

正确答案

见解析。

解析

知识点

两条直线平行的判定
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,已知四边形是正方形,平面,,分别为,,的中点.

(1)求证:平面

(2)求证:平面平面

(3)在线段上是否存在一点,使平面?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)证明:因为,分别为的中点,

所以.

又因为平面平面

所以平面.     ……………4分

(2)因为平面,所以.

又因为

所以平面.

由已知,分别为线段,的中点,

所以.

平面.

平面

所以平面平面.    …………………………………………………9分

(3)在线段上存在一点,使平面.证明如下:

在直角三角形中,因为,,所以.

在直角梯形中,因为,所以

所以.又因为的中点,所以.

要使平面,只需使.

因为平面,所以,又因为,

所以平面,而平面,所以.

,则,可得.

由已知可求得,所以.……14分

知识点

两条直线平行的判定
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,四边形ABCD是菱形,四边形MADN是矩形,平面MADN平面ABCD,E,F分别为MA,DC的中点,求证:

(1)EF//平面MNCB;

(2)平面MAC平面BND。

正确答案

见解析。

解析

知识点

两条直线平行的判定
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

在如图所示的几何体中,四边形是ABEF长方形,DA⊥平面,ABEF,BC//AD,G,H分别为DF,CE的中点,且AD=AF=2BC。

(1)求证:GH//平面ABCD;

(2)求三棱锥与的体积之比。

正确答案

见解析。

解析

知识点

两条直线平行的判定
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是等边三角形,D是BC的中点。

(1)求证:直线A1D⊥B1C1

(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系,并证明你的结论。

正确答案

见解析

解析

(1)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥面ABC,∴  AA1⊥BC,

在等边△ABC中,D是BC中点,∴  AD⊥BC

∵  在平面A1AD中,A1A∩AD=A,∴BC⊥面A1AD

又∵  A1D⊂面A1AD,∴  A1D⊥BC

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,四边形BCC1B1是平行四边形,∴  B1C1∥BC

∴  A1D⊥B1C1

(2) 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,四边形ACC1A1是平行四边形,

在平行四边形ACC1A1中联结A1C,交于AC1点O,连接DO。

故O为A1C中点。

在三角形A1CB中,D 为BC中点,O为A1C中点,∴DO∥A1B。

因为DO⊂平面DAC1,A1B⊄平面DAC1,∴A1B∥面ADC1

∴  A1B与面ADC1平行。

知识点

两条直线平行的判定
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图4,在四棱锥中,底面是平行四边形,

平面,点的中点.

(1)求证:平面

(2)求证:

(3)若求点到平面的距离.

正确答案

见解析。

解析

知识点

两条直线平行的判定
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,菱形的边长为,.将菱形沿对角线折起,得到三棱锥,点是棱的中点,.

(1)求证:平面

(2)求证:平面平面

(3)求三棱锥的体积.

正确答案

见解析

解析

(1)证明:因为点是菱形的对角线的交点,

所以的中点.又点是棱的中点,

所以的中位线,.                       ……………2分

因为平面,平面

所以平面.                                        ……………4分

(2)证明:由题意,,

因为,所以.                ……………6分

又因为菱形,所以.  …………7分

因为,

所以平面,           ……………8分

因为平面

所以平面平面.       ……………9分

(3)解:三棱锥的体积等于三棱锥的体积.      ……………10分

由(2)知,平面

所以为三棱锥的高.                          ……………12分

的面积为,   ……………13分

所求体积等于.                           ……………14分

知识点

两条直线平行的判定
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,矩形中,分别在线段上,,将矩形沿折起,记折起后的矩形为,且平面平面

(1)求证:∥平面

(2)若,求证:

(3)求四面体体积的最大值,

正确答案

见解析

解析

(1)证明:因为四边形都是矩形,

所以

所以 四边形是平行四边形,

所以

因为 平面

所以 ∥平面

(2)证明:连接,设

因为平面平面,且

所以 平面

所以

, 所以四边形为正方形,所以

所以 平面

所以

(3)解:设,则,其中

由(1)得平面

所以四面体的体积为

所以

当且仅当,即时,四面体的体积最大。

知识点

两条直线平行的判定
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆()的左、右焦点,B,C分别为椭圆的上、下顶点,直线BF2与椭圆的另一交点为. 若,则直线的斜率为     .

正确答案

解析

因为BF1=BF2=a,F1F2=2c,由余弦定理得

,得

直线BF2的斜率为

设D(),而B(0,b),C(0,-b),则

又D在椭圆上,故

,得,即

知识点

两条直线平行的判定
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

18.把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为,第二次出现的点数记为。已知直线,直线,试求:

(Ⅰ)直线相交的概率;

(Ⅱ)直线平行的概率;

正确答案

解析

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知识点

两条直线平行的判定两条直线垂直的判定古典概型的概率
下一知识点 : 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
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