- 两条直线平行的判定
- 共27题
如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,E、F分别是AB、PD的中点.
(1)求证:AF//平面PCE;
(2)求证:平面平面PCD;
(3)求四面体PEFC的体积.
正确答案
见解析。
解析
知识点
如图,已知四边形是正方形,平面,,,,,分别为,,的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面;
(3)在线段上是否存在一点,使平面?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)证明:因为,分别为,的中点,
所以.
又因为平面,平面,
所以平面. ……………4分
(2)因为平面,所以.
又因为,,
所以平面.
由已知,分别为线段,的中点,
所以.
则平面.
而平面,
所以平面平面. …………………………………………………9分
(3)在线段上存在一点,使平面.证明如下:
在直角三角形中,因为,,所以.
在直角梯形中,因为,,所以,
所以.又因为为的中点,所以.
要使平面,只需使.
因为平面,所以,又因为,,
所以平面,而平面,所以.
若,则∽,可得.
由已知可求得,,,所以.……14分
知识点
如图,四边形ABCD是菱形,四边形MADN是矩形,平面MADN平面ABCD,E,F分别为MA,DC的中点,求证:
(1)EF//平面MNCB;
(2)平面MAC平面BND。
正确答案
见解析。
解析
知识点
在如图所示的几何体中,四边形是ABEF长方形,DA⊥平面,ABEF,BC//AD,G,H分别为DF,CE的中点,且AD=AF=2BC。
(1)求证:GH//平面ABCD;
(2)求三棱锥与的体积之比。
正确答案
见解析。
解析
知识点
如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是等边三角形,D是BC的中点。
(1)求证:直线A1D⊥B1C1;
(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系,并证明你的结论。
正确答案
见解析
解析
(1)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥面ABC,∴ AA1⊥BC,
在等边△ABC中,D是BC中点,∴ AD⊥BC
∵ 在平面A1AD中,A1A∩AD=A,∴BC⊥面A1AD
又∵ A1D⊂面A1AD,∴ A1D⊥BC
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,四边形BCC1B1是平行四边形,∴ B1C1∥BC
∴ A1D⊥B1C1
(2) 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,四边形ACC1A1是平行四边形,
在平行四边形ACC1A1中联结A1C,交于AC1点O,连接DO。
故O为A1C中点。
在三角形A1CB中,D 为BC中点,O为A1C中点,∴DO∥A1B。
因为DO⊂平面DAC1,A1B⊄平面DAC1,∴A1B∥面ADC1
∴ A1B与面ADC1平行。
知识点
如图4,在四棱锥中,底面是平行四边形,
平面,点为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:;
(3)若求点到平面的距离.
正确答案
见解析。
解析
知识点
如图,菱形的边长为,,.将菱形沿对角线折起,得到三棱锥,点是棱的中点,.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面;
(3)求三棱锥的体积.
正确答案
见解析
解析
(1)证明:因为点是菱形的对角线的交点,
所以是的中点.又点是棱的中点,
所以是的中位线,. ……………2分
因为平面,平面,
所以平面. ……………4分
(2)证明:由题意,,
因为,所以,. ……………6分
又因为菱形,所以. …………7分
因为,
所以平面, ……………8分
因为平面,
所以平面平面. ……………9分
(3)解:三棱锥的体积等于三棱锥的体积. ……………10分
由(2)知,平面,
所以为三棱锥的高. ……………12分
的面积为, ……………13分
所求体积等于. ……………14分
知识点
如图,矩形中,,。,分别在线段和上,∥,将矩形沿折起,记折起后的矩形为,且平面平面。
(1)求证:∥平面;
(2)若,求证:;
(3)求四面体体积的最大值,
正确答案
见解析
解析
(1)证明:因为四边形,都是矩形,
所以 ∥∥,。
所以 四边形是平行四边形,
所以 ∥,
因为 平面,
所以 ∥平面,
(2)证明:连接,设。
因为平面平面,且,
所以 平面,
所以 ,
又 , 所以四边形为正方形,所以 。
所以 平面,
所以 。
(3)解:设,则,其中。
由(1)得平面,
所以四面体的体积为,
所以 ,
当且仅当,即时,四面体的体积最大。
知识点
如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆()的左、右焦点,B,C分别为椭圆的上、下顶点,直线BF2与椭圆的另一交点为. 若,则直线的斜率为 .
正确答案
解析
因为BF1=BF2=a,F1F2=2c,由余弦定理得
,得,
直线BF2的斜率为
设D(,),而B(0,b),C(0,-b),则,
又D在椭圆上,故得
得,得,即
知识点
18.把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为,第二次出现的点数记为。已知直线:,直线:,试求:
(Ⅰ)直线、相交的概率;
(Ⅱ)直线、平行的概率;
正确答案
解析
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知识点
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