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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

函数的最小正周期是,若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数的图象

A关于点对称

B关于直线对称

C关于点对称

D关于直线对称

正确答案

B

解析

知识点

函数奇偶性的性质正弦函数的对称性函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知函数

(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;

(2)求函数的单调区间;

(3)设,当时,都有成立,求实数的取值范围。

正确答案

(1)

(2)当时,的单调增区间为

时,的单调增区间是的单调减区间是

(3)实数的取值范围

解析

(1)由已知得

因为曲线在点处的切线与直线垂直,

所以,所以

所以。                                        ……………3分

(2)函数的定义域是

(1)当时,成立,所以的单调增区间为

(2)当时,

,得,所以的单调增区间是

,得,所以的单调减区间是

综上所述,当时,的单调增区间为

时,的单调增区间是

的单调减区间是。     ……………8分

(3)当时,成立,

“当时,恒成立”

等价于“当时,恒成立,”

,只要“当时,成立,”

得,,又因为,所以函数上为减函数;

得,,又因为,所以函数上为增函数。

所以函数处取得最小值,且

所以。   又因为

所以实数的取值范围。                   ……………13分

(3)另解:

(i)当时,由(Ⅱ)可知, 上单调递增,所以

所以当时,有成立。

(ii)当时, 可得

由(2)可知当时,的单调增区间是

所以上单调递增,又,所以总有成立。

(iii)当时,可得

由(2)可知,函数上为减函数,在为增函数,

所以函数处取最小值,

时,要使成立,只需

解得,所以

综上所述,实数的取值范围

知识点

函数奇偶性的性质
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

下列函数中既是奇函数,双在区间(-1,1)上是增函数的为

Ay=|x+1

By=sinx

Cy=

Dy=lnx

正确答案

B

解析

知识点

函数奇偶性的性质
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

定义在上的奇函数,且当时, 为常数),则的值为           .

正确答案

-993

解析

,则,,当时,.

知识点

函数奇偶性的性质
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

已知函数是定义域为的偶函数. 当时,  若关于的方程有且只有7个不同实数根,则实数的取值范围是       。

正确答案

解析

知识点

函数奇偶性的性质函数零点的判断和求解
下一知识点 : 奇偶函数图象的对称性
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