空间向量及其应用、空间角_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 6 分

15.已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则＝，＝，＝．

正确答案

1；2；；

解析

试题分析：利用向量模的平方及取到的最小值进行转化，求出值即可。

∵，∴当且仅当时取得最小值1，两边平方可得在时取到最小值1，＝，

∴。

考查方向

本题主要考查了空间向量的数量积的性质，向量的模，属于中等题．

解题思路

根据空间向量的模的平方等于向量数量积的平方，由向量模的最小值进行转

化，利用取得最小值时的条件求解．

易错点

空间向量模的平方的运算.

知识点

空间向量的数量积运算向量的数量积判断向量的共线与垂直空间直线的向量参数方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．如图，在三棱锥中，已知，，设，

则的最小值为 .

正确答案

2

解析

因为

,所以，所以=，当且仅当时等号成立。

考查方向

本题主要考查向量数量积的运算以及向量的加减法和基本不等式求最值。

解题思路

1)利用向量的加减法将已知向量转化；

2)将向量关系转化为边的关系。

易错点

本题不能将空间的向量问题转化为边角之间的关系解决问题。

知识点

空间向量的数量积运算与二面角有关的立体几何综合题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝3，BC＝2AB＝2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．

20.若，在折叠后的线段上是否存在一点，且，

使得∥平面ABEF?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；

21.求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求此时二面角E－AC－F的余弦值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（Ⅰ）因为平面平面，平面∩平面,

所以平面，又平面,

所以

在折起过程中，,同时∩，

所以平面

以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

若时，则各点坐标如下：，, , .

可得平面的法向量．

因为，所以

所以,

故.

则,解得.

所以线段上存在一点，且，使得∥平面ABEF.

考查方向

本题主要考查空间线面平行与垂直的判定与性质，几何体的体积，二面角等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力.

解题思路

先根据题中给出的条件证明平面，然后建立空间直角坐标系求解即可；

易错点

1.不知道折叠前后变的量和不变的量有哪些?2.不会根据题中的条件找到建立坐标系的条件。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）设，所以，,

所以，

所以当时，有最大值，且最大值为.

可得, , ，.

所以,,,.

设平面的一个法向量为,

则,即.

取，则,

设平面的一个法向量为,

则，即

同理可得

所以

所以二面角E﹣AC﹣F的余弦值为.

考查方向

本题主要考查空间线面平行与垂直的判定与性质，几何体的体积，二面角等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力.

解题思路

设出变量后得到函数，然后求其最大值后得到想x的值，然后按照空间向量的知识求解即可。

易错点

1.不知道折叠前后变的量和不变的量有哪些?2.不会根据题中的条件找到建立坐标系的条件。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3．若=（2，2，0）， =（1，3，z），< ，>=60°，则z=（）

A

B－

C±

D±22

正确答案

C

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

空间向量的夹角与距离求解公式

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

21．已知空间三点A（0,2,3）,B（－2,1,6）,C（1,－1,5），

（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；

（2）若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

空间向量的夹角与距离求解公式空间向量运算的坐标表示向量的数量积判断向量的共线与垂直

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.正中，在方向上的投影为，且,则________.

正确答案

解析

设正的边长为a，则，所以；以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则，因为，所以，所以。

考查方向

本题主要考查平面向量共线、向量的投影、数量积等知识，意在考查考生对于向量的掌握情况。

解题思路

1.先利用在方向上的投影为求出三角形的边长；

2.构建平面直角坐标系，将所需向量用坐标的形式表示出来，然后求解。

易错点

1. 在方向上的投影为不理解或求错边长；

2.不能构建平面直角坐标系解决问题。

知识点

空间向量的夹角与距离求解公式

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点

（1）求点C到平面A1ABB1的距离；

（2）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值。

正确答案

见解析

解析

（1）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1。

故CD⊥平面A1ABB1。

所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==

（2）解法一：如图1，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1。

又由（1）知CD⊥平面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角，因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A，因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD•A1B1=8，得AA1=2，从而A1D==2，所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1===

解法二：如图2，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz。

设直三棱柱的高为h，则A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h），B1（2，0，h），C（0，，0），C1（0，，h），从而=（4，0，h），=（2，，﹣h）

由AB1⊥A1C，可得8﹣h2=0，h=2，故=（﹣2，0，2），=（0，0，2），=（0，，0）

设平面A1CD的法向量为=（x1，y1，z1），则有⊥，⊥

∴ •=0且•=0，即，取z1=1，则=（，0，1）

设平面C1CD的法向量为=（x2，y2，z2），则⊥，⊥，即且=0，取x2=1，得=（1，0，0），

所以cos＜，＞===，所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值

知识点

线面角和二面角的求法空间点、线、面的位置

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知长方体，下列向量的数量积一定不为的是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

略

知识点

向量的数量积判断向量的共线与垂直

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正确答案

解析

考查方向

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