- 平行关系的综合应用
- 共162题
如图,矩形
中,
,
,
、
分别为
、
边上的点,且
,
,将
沿
折起至
位置(如图
所示),连结
、
、
,其中
.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值。
正确答案
见解析。
解析
(1)由翻折不变性可知,,
,
在中,
,所以
在图中,易得
,
在中,
,所以
又,
平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)方法一:以为原点,建立空间直角坐标系
如图所示,则
,
,
,
,所以
,
,
,
设平面的法向量为
,则
,即
,解得
令,得
,
设直线与平面
所成角为
,则
.
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
方法二:过点作
于
,
由(Ⅰ)知平面
,而
平面
所以,又
,
平面
,
平面
,
所以平面
,
所以为直线
与平面
所成的角。
在中,
在中,由等面积公式得
在中,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
知识点
如图,在平面直角坐标系中,设点
(
),直线
:
,点
在直线
上移动,
是线段
与
轴的交点,过
、
分别作直线
、
,使
,
。
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)在直线上任取一点
做曲线
的两条切线,设切点为
、
,求证:直线
恒过一定点;
(3)对(2)求证:当直线的斜率存在时,直线
的斜率的倒数成等差数列。
正确答案
见解析
解析
(1)依题意知,点是线段
的中点,且
⊥
,
∴是线段
的垂直平分线。 ∴
。
故动点的轨迹
是以
为焦点,
为准线的抛物线,其方程为:
。
(2)设,两切点为
,
由得
,求导得
。
∴两条切线方程为 ①
②
对于方程①,代入点得,
,又
,
∴整理得:
,
同理对方程②有,即
为方程
的两根。
∴ ③
设直线的斜率为
,
,
所以直线的方程为
,展开得:
,代入③得:
,∴直线恒过定点
。
(3) 证明:由(2)的结论,设,
,
,
且有,
∴ ,
∴
=,
又∵,
所以。
即直线的斜率倒数成等差数列。
知识点
若曲线处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a=( )
正确答案
解析
知识点
设是数
的任意一个全排列,定义
,其中
.
(1)若,求
的值;
(2)求的最大值;
(3)求使达到最大值的所有排列
的个数.
正确答案
(1)57
(2)131
(3)28800
解析
(1). ……3分
(2)数的
倍与
倍分别如下:
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为,所以
.
对于排列,此时
,
所以的最大值为
. …………………8分
(3)由于数所产生的
个数都是较小的数,而数
所产生的
个数都是较大的数,所以使
取最大值的排列中,必须保证数
互不相邻,数
也互不相邻;而数
和
既不能排在
之一的后面,又不能排在
之一的前面.设
,并参照下面的符号排列
△○□△○□△○□△○
其中任意填入
个□中,有
种不同的填法;
任意填入
个圆圈○中,共有
种不同的填法;
填入
个△之一中,有
种不同的填法;
填入
个△中,且当与
在同一个△时,既可以在
之前又可在
之后,共有
种不同的填法,所以当
时,使
达到最大值的所有排列
的个数为
,由轮换性知,使
达到最大值的所有排列
的个数为
. ……………13分
知识点
已知函数, 若函教
的值域是[-1,1],则实数k的取值范围是
正确答案
解析
略
知识点
已知函数,其导函数
的图象经过点
,
,如图所示。
(1)求的极大值点;
(2)求的值;
(3)若,求
在区间
上的最小值。
正确答案
(1)
(2)
(3)
解析
(1)由导函数图象可知:在区间
单调递增,在区间
单调递减,
所以,的极大值点为
------------------3分
(2) ------------------2分
由得
------------------3分
当时,
与已知矛盾,
------------------5分
(3)
①当,即
时,
在区间
上单调递减
------------------2分
②当,即
时,
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
------------------4分
③当时,
在区间
上单调递增,
------------------6分
知识点
已知点是离心率为
的椭圆
:
上的一点,斜率为
的直线
交椭圆
于
、
两点,且
、
、
三点不重合。
(1)求椭圆的方程;
(2)的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由?
(3)求证:直线、
的斜率之和为定值。
正确答案
见解析。
解析
(1),
,
∴,
,
∴
(2)
设直线BD的方程为
………………………①
………………………②
,
设为点
到直线BD:
的距离,
∴
∴ ,当且仅当
时取等号.
因为,所以当
时,
的面积最大,最大值为
(3)设,
,直线
、
的斜率分别为:
、
,则
=
将(2)中①、②式代入(*)式整理得
=0,
即0
知识点
已知函数.若
,则
的取值范围是
正确答案
解析
略
知识点
下列结论中正确的是 。
① 函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+1)=- f(x), 则函数
y=f(x)的图像关于直线x=1对称;
②
③
④ 线性相关系数r的绝对值越接近于1,表明两个变量线性相关程度越弱。
正确答案
①②③
解析
略
知识点
在如图所示的几何体中,四边形为正方形,
平面
,
,
。
(1)若点在线段
上,且满足
,求证:
平面
;
(2)求证:平面
;
(3)求二面角的余弦值。
正确答案
见解析
解析
(1)证明:过作
于
,连结
,
则,又
,所以
。
又且
,
所以,且
,
所以四边形为平行四边形,
所以。
又平面
,
平面
,
所以平面
,……4分
(2)证明:因为平面
,
,
故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,由已知可得
,
。
显然。
则,
所以。
即,故
平面
,
(3)解:因为,所以
与
确定平面
,
由已知得,,……9分
因为平面
,所以
。
由已知可得且
,
所以平面
,故
是平面
的一个法向量。
设平面的一个法向量是
。
由得
即
令,则
。
所以。
由题意知二面角锐角, 故二面角
的余弦值为
,……14分
知识点
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