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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,矩形中,,,分别为边上的点,且,,将沿折起至位置(如图所示),连结,其中.

(1)求证:平面

(2)求直线与平面所成角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)由翻折不变性可知,,,

中,,所以

在图中,易得,

中,,所以

,平面,平面,所以平面.

(2)方法一:以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,

,,所以,,,

设平面的法向量为,则,即,解得

,得,

设直线与平面所成角为,则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

方法二:过点,

由(Ⅰ)知平面,而平面

所以,又,平面,平面,

所以平面,

所以为直线与平面所成的角。

中,

中,由等面积公式得

中,

所以直线与平面所成角的正弦值为.

知识点

平行关系的综合应用
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在平面直角坐标系中,设点),直线,点在直线上移动,是线段轴的交点,过分别作直线,使 

(1)求动点的轨迹的方程;

(2)在直线上任取一点做曲线的两条切线,设切点为,求证:直线恒过一定点;

(3)对(2)求证:当直线的斜率存在时,直线的斜率的倒数成等差数列。

正确答案

见解析

解析

(1)依题意知,点是线段的中点,且

是线段的垂直平分线。    ∴

故动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为:

(2)设,两切点为

,求导得

∴两条切线方程为 ① 

对于方程①,代入点得,,又,

整理得:

同理对方程②有,即为方程的两根。

  ③

设直线的斜率为

所以直线的方程为,展开得:

,代入③得:

,∴直线恒过定点

(3) 证明:由(2)的结论,设 ,

且有

 ,

=

又∵

所以

即直线的斜率倒数成等差数列。

知识点

平行关系的综合应用
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若曲线处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a=(  )

A64

B32

C16

D8

正确答案

A

解析

知识点

平行关系的综合应用
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

是数的任意一个全排列,定义,其中.

(1)若,求的值;

(2)求的最大值;

(3)求使达到最大值的所有排列的个数.

正确答案

(1)57

(2)131

(3)28800

解析

(1).  ……3分

(2)数倍与倍分别如下:

其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为,所以.

对于排列,此时

所以的最大值为. …………………8分

(3)由于数所产生的个数都是较小的数,而数所产生的个数都是较大的数,所以使取最大值的排列中,必须保证数互不相邻,数也互不相邻;而数既不能排在之一的后面,又不能排在之一的前面.设,并参照下面的符号排列△○□△○□△○□△○

其中任意填入个□中,有种不同的填法;任意填入个圆圈○中,共有种不同的填法;填入个△之一中,有种不同的填法;填入个△中,且当与在同一个△时,既可以在之前又可在之后,共有种不同的填法,所以当时,使达到最大值的所有排列的个数为,由轮换性知,使达到最大值的所有排列的个数为. ……………13分

知识点

平行关系的综合应用
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知函数,  若函教 的值域是[-1,1],则实数k的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

知识点

平行关系的综合应用
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数,其导函数的图象经过点,如图所示。

(1)求的极大值点;

(2)求的值;

(3)若,求在区间上的最小值。

正确答案

(1)

(2)

(3)

解析

(1)由导函数图象可知:在区间单调递增,在区间单调递减,

所以,的极大值点为                             ------------------3分

(2)                      ------------------2分

                                   ------------------3分

时,与已知矛盾,              ------------------5分

(3)

①当,即时,在区间上单调递减

                    ------------------2分

②当,即时,在区间上单调递减,在区间

上单调递增,             ------------------4分

③当时,在区间上单调递增,

                       ------------------6分

知识点

平行关系的综合应用
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知点是离心率为的椭圆上的一点,斜率为的直线交椭圆两点,且三点不重合。

(1)求椭圆的方程;

(2)的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由?

(3)求证:直线的斜率之和为定值。

正确答案

见解析。

解析

(1), 

(2)

设直线BD的方程为

 

 ………………………①

    ………………………②

为点到直线BD:的距离,

 ,当且仅当时取等号.

因为,所以当时,的面积最大,最大值为

(3)设,直线的斜率分别为: 、,则

=

将(2)中①、②式代入(*)式整理得

=0,

0

知识点

平行关系的综合应用
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知函数.若,则的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

C

解析

知识点

平行关系的综合应用
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

下列结论中正确的是                  。

① 函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+1)=- f(x), 则函数

y=f(x)的图像关于直线x=1对称;

④ 线性相关系数r的绝对值越接近于1,表明两个变量线性相关程度越弱。

正确答案

①②③

解析

知识点

平行关系的综合应用
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

在如图所示的几何体中,四边形为正方形,平面

(1)若点在线段上,且满足,求证:平面

(2)求证:平面

(3)求二面角的余弦值。

正确答案

见解析

解析

(1)证明:过,连结

,又,所以

所以,且

所以四边形为平行四边形,

所以

平面平面

所以平面,……4分

(2)证明:因为平面

故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,由已知可得

显然

所以

,故平面

(3)解:因为,所以确定平面

由已知得,,……9分

因为平面,所以

由已知可得

所以平面,故是平面的一个法向量。

设平面的一个法向量是

,则

所以

由题意知二面角锐角,    故二面角的余弦值为,……14分

知识点

平行关系的综合应用
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