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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在长方体ABCD一A1B1C1D1中,AA1=2, AD = 3, E为CD中点,三棱 锥A1-AB1E的体积是6.

(1)  设P是棱BB1的中点,证明:CP//平面AEB1;

(2)  求AB的长;

(3) 求二面角B—AB1-E的余弦值.

正确答案

见解析。

解析

 解:(1)

证明:取的中点,连结,则,即四边形是平行四边形,,又

(2)由题,点到平面的距离是,即

(3)

为坐标原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则,可取,又平面的法向量为,故二面角的余弦值为

知识点

平行关系的综合应用
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知抛物线是抛物线的焦点,设上异于原点的两个不重合点,,且轴交于点.

(1)求的值;

(2)求的坐标;

(3)当点上运动时,动点满足:,求点的轨迹方程。

正确答案

见解析。

解析

解:(1)由题,且,得,代入上式,得

(2)设点,当时,三点共线,有

,当时,,此时为等腰三角形,,直线的方程为:,联立,解得的坐标为

(3)设,由,得,即

,当时,的中点,点都在直线上,,即代入上式,得,化简得,当时,点符合上式,综上可知点的轨迹方程为.

知识点

平行关系的综合应用
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,几何体中,四边形为菱形,,面∥面,都垂直于面,且的中点,的中点。

(1)求证:为等腰直角三角形;

(2)求二面角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)

连接,交,因为四边形为菱形,,所以

因为都垂直于面,,又面∥面,

所以四边形为平行四边形 ,则……………………………2分

因为都垂直于面,则

…4分

所以

所以为等腰直角三角形           ………………………………………………5分

(1)取的中点,因为分别为的中点,所以

分别为轴建立坐标系,

所以 ………………7分

设面的法向量为

,即

,则 ………………………………………………………………9分

设面的法向量为

,则  ……………………………………………………11分

,则二面角的余弦值为 …12分

知识点

平行关系的综合应用
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为

A7,6,1,4

B6,4,1,7

C4,6,1,7

D1,6,4,7

正确答案

B

解析


知识点

平行关系的综合应用
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,已知矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD的中点,沿AO将三角形AOD折起,使.

(1)求证:平面AOD⊥ABCO;

(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.

正确答案

见解析。

解析

(1)∵在矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD中点,

∴△AOD,△BOC为等腰直角三角形,

∴∠AOB=90º,即OB⊥OA.………………………………………………(1分)

取AO中点H,连结DH,BH,则OH=DH=

在Rt△BOH中,BH2=BO2+OH2=,

在△BHD中,DH2+BH2=又DB2=3,

∴DH2+BH2=DB2,∴DH⊥BH.…………………………………………(2分)

又DH⊥OA, OA∩BH=H ……………………………………………(3分)

∴DH⊥面ABCO,……………………………………………………(4分)

而DH∈平面AOD,…………………………………………………(5分)

∴平面AOD⊥平面ABCO. …………………………………………(6分)

(2)解:

分别以直线OA,OB为x轴和y轴,O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则.

……(7分)

设平面ABD的一个法向量为

………………………………………………………………(9分)

为直线BC与平面ABD所成的角,

 ………………………………………(11分)

即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为………………………(12分)

知识点

平行关系的综合应用
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD, EF // AB,∠BAF=90º, AD= 2,AB=AF=2EF =1,点P在棱DF上。

(1)若P是DF的中点,

(ⅰ) 求证:BF // 平面ACP;

(ⅱ) 求异面直线BE与CP所成角的余弦值;

(2)若二面角D-AP-C的余弦值为,求PF的长度。

正确答案

见解析

解析

(1)(ⅰ)证明:连接BD,交AC于点O,连接OP。

因为P是DF中点,O为矩形ABCD 对角线的交点,

所以OP为三角形BDF中位线,

所以BF // OP,

因为BF平面ACP,OP平面ACP,

所以BF // 平面ACP。   ……………………4分

(ⅱ)因为∠BAF=90º,

所以AF⊥AB,

因为 平面ABEF⊥平面ABCD,

且平面ABEF ∩平面ABCD= AB,

所以AF⊥平面ABCD,

因为四边形ABCD为矩形,

所以以A为坐标原点,AB,AD,AF分别为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系

所以

所以

所以

即异面直线BE与CP所成角的余弦值为

。 ……………………9分[来源:学|科|网]

(2)解:因为AB⊥平面ADF,

所以平面APF的法向量为

设P点坐标为

在平面APC中,

所以 平面APC的法向量为

所以

解得,或(舍)。

此时。 ……………………14分

知识点

平行关系的综合应用
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图(1),在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,AE=BF=2,,现将梯形沿CB、DA折起,使EF∥AB且EF=2AB,得一简单组合体ABCDEF如图(2)示,已知M,N,P分别为AF,BD,EF的中点。

(1)求证:MN∥平面BCF;

(2)求证:AP⊥DE;

(3)当AD多长时,平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°?

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:如图1,连接AC,∵四边形ABCD是矩形,N为BD中点,

∴N为AC中点,

在△ACF中,M为AF中点,故MN∥CF。

∵CF⊂平面BCF,MN⊄平面BCF,

∴MN∥平面BCF;

(2)证明:由题意知DA⊥AB,DA⊥AE 且AB∩AE=A,

∴AD⊥平面ABFE,

∵AP⊂平面ABFE,∴AP⊥AD,

∵P为EF中点,∴

又AB∥EF,可得四边形ABFP是平行四边形。

∴AP∥BF,AP=BF=2。

∴AP2+AE2=PE2,∴∠PAE=90°,∴PA⊥AE。

又AD∩AE=A,∴AP⊥平面ADE。

∵DE⊂平面ADE,∴AP⊥DE。

(3)解法一:如图2,分别以AP,AE,AD所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系

设AD=m(m>0),则A(0,0,0),D(0,0,m),E(0,2,0),P(2,0,0)。

可知平面ADE的一个法向量为

设平面DEF的一个法向量为,则,令x=1,则y=1,

由题意得,=cos60°,解得

时,平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°。

解法二:过点A作AK⊥DE交DE于K点,连结PK,则DE⊥PK,∴∠AKP为二面角A﹣DE﹣F的平面角,

由∠AKP=60°,AP=BF=2得AK=

又AD•AE=AK•DE得

解得,即时,平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°。

知识点

平行关系的综合应用
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知函数的反函数满足,则的最小值为

A1

B

C

D

正确答案

C

解析

知识点

平行关系的综合应用
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点,割线PCD经过圆心,已知PA=6,,PO=12,则⊙O的半径为  。

正确答案

8

解析

知识点

平行关系的综合应用
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知,若存在区间,使得,则实数的取值范围是         。

正确答案

解析

知识点

平行关系的综合应用
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