- 平行关系的综合应用
- 共162题
如图,在长方体ABCD一A1B1C1D1中,AA1=2, AD = 3, E为CD中点,三棱 锥A1-AB1E的体积是6.
(1) 设P是棱BB1的中点,证明:CP//平面AEB1;
(2) 求AB的长;
(3) 求二面角B—AB1-E的余弦值.
正确答案
见解析。
解析
解:(1)
证明:取的中点
,连结
,则
,
,即四边形
是平行四边形,
,又
,
(2)由题,点
到平面
的距离是
,
,
,即
(3)
以为坐标原点,分别以
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系
,则
,
,设平面
的法向量为
,则
,可取
,又平面
的法向量为
,
,故二面角
的余弦值为
知识点
已知抛物线,
是抛物线的焦点,设
是
上异于原点
的两个不重合点,
,且
与
轴交于点
.
(1)求的值;
(2)求的坐标;
(3)当点在
上运动时,动点
满足:
,求点
的轨迹方程。
正确答案
见解析。
解析
解:(1)由题得
,且
,得
,代入上式,得
,
,
,
(2)设点,当
时,
三点共线,有
即,
,
,当
时,
,此时
为等腰三角形,
,直线
的方程为:
,联立
,解得
,
的坐标为
(3)设,由
,
,得
,即
又,
,当
时,
,
的中点
,点
都在直线
上,
,即
代入上式,得
,化简得
,当
时,点
符合上式,综上可知点
的轨迹方程为
.
知识点
如图,几何体中,四边形
为菱形,
,
,面
∥面
,
、
、
都垂直于面
,且
,
为
的中点,
为
的中点。
(1)求证:为等腰直角三角形;
(2)求二面角的余弦值。
正确答案
见解析。
解析
(1)
连接,交
于
,因为四边形
为菱形,
,所以
因为、
都垂直于面
,
,又面
∥面
,
所以四边形为平行四边形 ,则
……………………………2分
因为、
、
都垂直于面
,则
…4分
所以
所以为等腰直角三角形 ………………………………………………5分
(1)取的中点
,因为
分别为
的中点,所以
∥
以分别为
轴建立坐标系,
则
所以 ………………7分
设面的法向量为
,
则,即
且
令,则
………………………………………………………………9分
设面的法向量为
,
则即
且
令,则
……………………………………………………11分
则,则二面角
的余弦值为
…12分
知识点
为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文
明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文
,
,
例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为
正确答案
解析
略
知识点
如图,已知矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD的中点,沿AO将三角形AOD折起,使.
(1)求证:平面AOD⊥ABCO;
(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.
正确答案
见解析。
解析
(1)∵在矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD中点,
∴△AOD,△BOC为等腰直角三角形,
∴∠AOB=90º,即OB⊥OA.………………………………………………(1分)
取AO中点H,连结DH,BH,则OH=DH=,
在Rt△BOH中,BH2=BO2+OH2=,
在△BHD中,DH2+BH2=又DB2=3,
∴DH2+BH2=DB2,∴DH⊥BH.…………………………………………(2分)
又DH⊥OA, OA∩BH=H ……………………………………………(3分)
∴DH⊥面ABCO,……………………………………………………(4分)
而DH∈平面AOD,…………………………………………………(5分)
∴平面AOD⊥平面ABCO. …………………………………………(6分)
(2)解:
分别以直线OA,OB为x轴和y轴,O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
,
,
.
∴……(7分)
设平面ABD的一个法向量为
由得
即令
则
,
取………………………………………………………………(9分)
设为直线BC与平面ABD所成的角,
则 ………………………………………(11分)
即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为………………………(12分)
知识点
在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD, EF // AB,∠BAF=90º, AD= 2,AB=AF=2EF =1,点P在棱DF上。
(1)若P是DF的中点,
(ⅰ) 求证:BF // 平面ACP;
(ⅱ) 求异面直线BE与CP所成角的余弦值;
(2)若二面角D-AP-C的余弦值为,求PF的长度。
正确答案
见解析
解析
(1)(ⅰ)证明:连接BD,交AC于点O,连接OP。
因为P是DF中点,O为矩形ABCD 对角线的交点,
所以OP为三角形BDF中位线,
所以BF // OP,
因为BF平面ACP,OP
平面ACP,
所以BF // 平面ACP。 ……………………4分
(ⅱ)因为∠BAF=90º,
所以AF⊥AB,
因为 平面ABEF⊥平面ABCD,
且平面ABEF ∩平面ABCD= AB,
所以AF⊥平面ABCD,
因为四边形ABCD为矩形,
所以以A为坐标原点,AB,AD,AF分别为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系。
所以 ,
,
,
。
所以 ,
,
所以,
即异面直线BE与CP所成角的余弦值为
。 ……………………9分[来源:学|科|网]
(2)解:因为AB⊥平面ADF,
所以平面APF的法向量为。
设P点坐标为,
在平面APC中,,
,
所以 平面APC的法向量为,
所以 ,
解得,或
(舍)。
此时。 ……………………14分
知识点
如图(1),在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,AE=BF=2,,现将梯形沿CB、DA折起,使EF∥AB且EF=2AB,得一简单组合体ABCDEF如图(2)示,已知M,N,P分别为AF,BD,EF的中点。
(1)求证:MN∥平面BCF;
(2)求证:AP⊥DE;
(3)当AD多长时,平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°?
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:如图1,连接AC,∵四边形ABCD是矩形,N为BD中点,
∴N为AC中点,
在△ACF中,M为AF中点,故MN∥CF。
∵CF⊂平面BCF,MN⊄平面BCF,
∴MN∥平面BCF;
(2)证明:由题意知DA⊥AB,DA⊥AE 且AB∩AE=A,
∴AD⊥平面ABFE,
∵AP⊂平面ABFE,∴AP⊥AD,
∵P为EF中点,∴,
又AB∥EF,可得四边形ABFP是平行四边形。
∴AP∥BF,AP=BF=2。
∴AP2+AE2=PE2,∴∠PAE=90°,∴PA⊥AE。
又AD∩AE=A,∴AP⊥平面ADE。
∵DE⊂平面ADE,∴AP⊥DE。
(3)解法一:如图2,分别以AP,AE,AD所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系
设AD=m(m>0),则A(0,0,0),D(0,0,m),E(0,2,0),P(2,0,0)。
∴,
。
可知平面ADE的一个法向量为,
设平面DEF的一个法向量为,则
,令x=1,则y=1,
。
故。
∴,
由题意得,=cos60°,解得
,
即时,平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°。
解法二:过点A作AK⊥DE交DE于K点,连结PK,则DE⊥PK,∴∠AKP为二面角A﹣DE﹣F的平面角,
由∠AKP=60°,AP=BF=2得AK=,
又AD•AE=AK•DE得,
解得,即
时,平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°。
知识点
已知函数的反函数
满足
,则
的最小值为
正确答案
解析
略
知识点
如图,⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点,割线PCD经过圆心,已知PA=6,,PO=12,则⊙O的半径为 。
正确答案
8
解析
知识点
已知,若存在区间
,使得
,则实数
的取值范围是 。
正确答案
解析
略
知识点
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