热门试卷

（1）

连接，交于，因为四边形为菱形，，所以

因为、都垂直于面,，又面∥面,

所以四边形为平行四边形 ,则……………………………2分

因为、、都垂直于面,则

…4分

所以

所以为等腰直角三角形           ………………………………………………5分

（1）取的中点，因为分别为的中点，所以∥

以分别为轴建立坐标系，

则

所以 ………………7分

设面的法向量为，

则，即且

令，则 ………………………………………………………………9分

设面的法向量为，

则即且

令，则  ……………………………………………………11分

则,则二面角的余弦值为 …12分

（1）∵在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD中点，

∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，

∴∠AOB=90º,即OB⊥OA.………………………………………………（1分）

取AO中点H，连结DH，BH，则OH=DH=，

在Rt△BOH中，BH2=BO2+OH2=,

在△BHD中，DH2+BH2=又DB2=3，

∴DH2+BH2=DB2，∴DH⊥BH.…………………………………………（2分）

又DH⊥OA, OA∩BH=H ……………………………………………（3分）

∴DH⊥面ABCO，……………………………………………………（4分）

而DH∈平面AOD，…………………………………………………（5分）

∴平面AOD⊥平面ABCO. …………………………………………（6分）

（2）解：

分别以直线OA，OB为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.

∴……（7分）

设平面ABD的一个法向量为

由得

即令则，

取………………………………………………………………（9分）

设为直线BC与平面ABD所成的角，

则 ………………………………………（11分）

即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为………………………（12分）

（1）证明：如图1，连接AC，∵四边形ABCD是矩形，N为BD中点，

∴N为AC中点，

在△ACF中，M为AF中点，故MN∥CF。

∵CF⊂平面BCF，MN⊄平面BCF，

∴MN∥平面BCF；

（2）证明：由题意知DA⊥AB，DA⊥AE 且AB∩AE=A，

∴AD⊥平面ABFE，

∵AP⊂平面ABFE，∴AP⊥AD，

∵P为EF中点，∴，

又AB∥EF，可得四边形ABFP是平行四边形。

∴AP∥BF，AP=BF=2。

∴AP2+AE2=PE2，∴∠PAE=90°，∴PA⊥AE。

又AD∩AE=A，∴AP⊥平面ADE。

∵DE⊂平面ADE，∴AP⊥DE。

（3）解法一：如图2，分别以AP，AE，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系

设AD=m（m＞0），则A（0，0，0），D（0，0，m），E（0，2，0），P（2，0，0）。

∴，。

可知平面ADE的一个法向量为，

设平面DEF的一个法向量为，则，令x=1，则y=1，。

故。

∴，

由题意得，=cos60°，解得，

即时，平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°。

解法二：过点A作AK⊥DE交DE于K点，连结PK，则DE⊥PK，∴∠AKP为二面角A﹣DE﹣F的平面角，

由∠AKP=60°，AP=BF=2得AK=，

又AD•AE=AK•DE得，

解得，即时，平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°。