热门试卷

（1）无论点运动到何处时，总有，则平面

所以平面 平面

（2）如图建立直角坐标系,

,,,,

,,

平面的法向量为

平面的法向量为

（1） 取PA的中点Q，连结EQ、DQ，

则E是PB的中点，

,四边形EQDF为平行四边形，

，，

（2）（i）解法一：证明: ,   PH⊥AD,

又 AB⊥平面PAD，平面PAD,AB⊥PH,

又 PHAD=H, PH⊥平面ABCD; 

连结AE 

又且

由（1）知    

,  又  

在 

又 

（ii）延长DA，CB交于点M，连接PM，则PM为平面PAD与平面PBC所成二面角的交线。

因为,所以点A,B分别为DM,CM的中点，所以DM=4，

在中：，

 ,

又因为，所以，

即为所求的二面角的平面角

所以在中：

解法二：（向量法）（i）由（1）可得  又

在平面ABCD内过点,以H为原点，以正方向建立空间直角坐标系

 设平面PAB的一个法向量为

  ，

      得y=0  令 得x=3

设直线AF与平面PAB所成的角为

则 

（ii）显然向量为平面PAD的一个法向量，且

设平面PBC的一个法向量为，

,， 由得到

由得到，令，则，所以，

，所以平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值为

（1）因为MD为的切线,由切割线定理知,

MD2=MAMB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB ,  ，所以MA=3， AB=12－3=9.   

（2）因为AM=AD，所以∠AMD=∠ADM,连接DB，又MD为的切线,由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD， 又因为AB是圆O的直径,所以∠ADB为直角，即∠BAD=90°-∠ABD.又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,于是90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°. 又四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°,所以∠DCB=120°

（1）  证明:方法一:

∵PD⊥平面ABCD

∴PD⊥CD………………………………………………………………1分

∵CD⊥AD

∴CD⊥平面PAD………………………………………………………2分

∵CD平面PCD

∴平面PCD⊥平面PAD………………………………………………3分

方法二：略（向量法）

（2） 如图以D为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz.

则有关点及向量的坐标为: ………………………………4分

G（1，2，0）,E（0，1，1），F（0，0，1）

=（0，-1，0），=（1，1，-1）……5分

设平面EFG的法向量为=（x，y，z）

∴      

取=（1,0,1） ………………………………………………………………6分

平面PCD的一个法向量, =（1,0,0）…………………………………7分

∴cos………………………………8分

结合图知二面角G-EF-D的平面角为45°……………………………9分

PD=………………12分

（1） 证明：连接，

因为，,所以∥,

因为面，面

所以∥面.

（2）作，分别令为

轴，轴，轴,建立坐标系如图

因为，，

所以，

所以，，，，

设面的法向量为,所以，

化简得，令，则.

设，则

设直线与面所成角为，则

所以，则直线与面所成角的正弦值为 。

（1）解：以A为坐标原点，AD长为单位长度，

如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1，)，因 ＝(1,1,0)， ＝(0,2，－1)，

故| |＝，| |＝， · ＝2，

所以cos< ， >＝.

（2）在MC上取一点N(x，y，z)，则存在λ∈R，使 ＝λ ，

＝(1－x,1－y，－z)， ＝(1,0，－)，

∴x＝1－λ，y＝1，z＝λ.

要使AN⊥MC，只需 · ＝0即x－z＝0，解得λ＝

可知当λ＝时，N点坐标为(，1，)，能使 · ＝0.

此时，＝(，1，)， ＝( ，－1，)，有 · ＝0

由 · ＝0， · ＝0得AN⊥MC，BN⊥MC.

所以∠ANB为所求二面角的平面角。

∵| |＝，| |＝， · ＝－.

∴cos〈， 〉＝＝－

∴平面AMC与平面BMC所成角的余弦值为－.

（1），为的中点，，又底面为菱形，， ,又平面，又平面,平面平面

（2）平面平面,平面平面,

平面.以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系如图.

则,设(),

所以，平面的一个法向量是，

设平面的一个法向量为，所以

取，-

由二面角大小为，可得：

，解得，此时-

解析：（1）

平面ADE。

点G与平面ADE的距离即为点B到平面ADE的距离，连结BF交AE于H，

则

平面ADE，

BH即为点B到平面ADE的距离  

在

点G到平面ADE的距离为  

（2）设DE中点为O，连结OG、OH，

则

四边形BHOG为平行四边形，GO//BH。

由（1）知，平面ADE，

平面ADE，又平面DEG，

平面DEG，

为直线AD与平面DEG所成的角  

在

法（2）：（1）建立坐标系，

设平面ADE的法向量

（2）

设平面DEG的法向量