不等式恒成立问题
共107题

· 不等式恒成立问题

不等式恒成立问题
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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知条件；条件 p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）

正确答案

解析

略。

知识点

不等式恒成立问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知,若恒成立, 则的取值范围是

正确答案

解析

要使不等式成立,则有,即,设,

则.作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线,由图象可知当直线经过点B时,直线的截距最小,此时最大,由,解得,代入得,所以要使恒成立,则的取值范围是,即,

知识点

不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数。

（1）求在上的最大值；

（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；

（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值。

正确答案

见解析。

解析

（1），

令，解得（负值舍去），

由，解得。

（ⅰ）当时，由，得，

在上的最大值为。

（ⅱ）当时，由，得，

在上的最大值为。

（ⅲ）当时，在时，，在时，，

在上的最大值为。

（2）设切点为，则 …

由，有，化简得，

即或， ……………①

由，有，………②

由①、②解得或。 …

（3）当时，，

由（2）的结论直线为曲线的切线，

，点在直线上，

根据图像分析，曲线在直线下方。

下面给出证明：当时，。

，

当时，，即。

，

，。

要使不等式恒成立，必须。

又当时，满足条件，

且，

因此，的最小值为。

知识点

导数的几何意义不等式恒成立问题利用基本不等式求最值

题型：填空题

填空题 · 4 分

设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数________。

正确答案

解析

此不等式表示的平面区域如下图4所示：，

当时，直线平移到A点时目标函数取最大值，即；当时，直线平移到A或B点时目标函数取最大值，可知k取值是大于零，所以不满足，所以，所以填2；

知识点

不等式恒成立问题其它不等式的解法

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数.

（1）求的值；

（2）当时，求函数的最大值和最小值。

正确答案

（1）

（2）函数取得最小值；函数取得最大值

解析

（1）

。

所以， …………………7分

（2）当时，。

所以，当时，即时，函数取得最小值；

当时，即时，函数取得最大值。…………………13分

知识点

不等式恒成立问题

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