· 简单的线性规划

· 不等式恒成立问题

不等式恒成立问题
共107题

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1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

给出命题p：直线互相平行的充要条件是；命题q：若恒成立，则.关于以上两个命题，下列结论正确的是（）

A命题“”为真

B命题“”为假

C命题“”为真

D命题“”为真

正确答案

C

解析

略

知识点

充要条件的判定含有逻辑联结词命题的真假判断不等式恒成立问题两条直线平行的判定

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 .

正确答案

或

解析

略

知识点

不等式恒成立问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知函数，其中，若对于任意的，都有，则的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

略

知识点

不等式恒成立问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数，其中且.

（1）讨论的单调性；

(2) 若不等式恒成立，求实数取值范围；

（3）若方程存在两个异号实根，，求证：

正确答案

见解析。

解析

(１)的定义域为.

其导数

①当时,,函数在上是增函数;

②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,。

所以,在是增函数,在(0,+∞)是减函数.

(２)当时, 则取适当的数能使，比如取，

能使, 所以不合题意

当时，令,则

问题化为求恒成立时的取值范围.

由于

在区间上,;在区间上,.

的最小值为,所以只需

即,,

(3)由于存在两个异号根，不仿设，因为,所以

构造函数:()

所以函数在区间上为减函数. ,则,

于是,又,,由在上为减函数可知.即

知识点

函数单调性的判断与证明导数的几何意义导数的运算不等式恒成立问题不等式与函数的综合问题

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

在数列中，若（，，为常数），则称为数列。

（1）若数列是数列，，，写出所有满足条件的数列的前项；

（2）证明：一个等比数列为数列的充要条件是公比为或；

（3）若数列满足，，，设数列的前项和为。是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由是数列，，，有，

于是,

所有满足条件的数列的前项为：

；；；， ------------------4分

（2）（必要性）设数列是等比数列，（为公比且），则

，若为数列，则有

（为与无关的常数）

所以，或， ------------------2分

（充分性）若一个等比数列的公比，则，，所

以为数列；

若一个等比数列的公比，则，

，

所以为数列， ------------------4分

（3）因数列中，则

，

所以数列的前项和 ------------------1分

假设存在正整数使不等式对一

切都成立，即

当时，，又为正整数，

， -----------------3分

下面证明：对一切都成立。

由于

所以

------------------5分

知识点

充要条件的应用数列与不等式的综合不等式恒成立问题

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