- 空间点、线、面的位置关系
- 共375题
如图,是以
为直径的半圆
上异于
、
的点,矩形
所在的平面垂直于半圆
所在的平面,且
.
(1)求证:;
(2)若异面直线和
所成的角为
,求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
正确答案
见解析。
解析
(1)∵平面垂直于圆
所在的平面,两平面的交线为
,
平面
,
,∴
垂直于圆
所在的平面.又
在圆
所在的平面内,∴
.∵
是直角,∴
,∴
平面
,∴
.
(2)
如图,以点为坐标原点,
所在的直线为
轴,过点
与
平行的直线为
轴,建立空间直角坐标系
.由异面直线
和
所成的角为
,
知
,
∴,
∴,由题设可知
,
,∴
,
.设平面
的一个法向量为
,
由,
得
,
,取
,得
.
∴.又平面
的一个法向量为
,∴
.
平面与平面
所成的锐二面角的余弦值
.
知识点
10.若一系列的函数解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.那么函数解析式为y=2x2+1,值域为{3,19}的“孪生函数”共有( )
正确答案
解析
略
知识点
8.在正三棱锥-
中,
为
中点,且
与
所成角为
,则
与底面所成角的正弦值为( ).
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
8. 把一副三角板ABC与ABD摆成如图所示的直二面角D-AB-C,
则异面直线DC与AB所成角的正切值为 ( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
7.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是棱CC1与D1C1的中点,则直线EF与A1C1所成角正弦值是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
19.如图,在五面体中,
平面
,
,
,
为
的中点,
(I)求异面直线与
所成的角的大小;
(II)证明平面平面
;
(III)求二面角的余弦值。
正确答案
方法一:
(Ⅰ)解:由题设知,BF//CE,所以∠CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点,连结EP,PC。因为FEAP,所以FA
EP,同理AB
PC。又FA⊥平面ABCD,所以EP⊥平面ABCD。而PC,AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC,EP⊥AD。由AB⊥AD,可得PC⊥AD设FA=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=
,故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°
(II)证明:因为
(III)
由(I)可得,
方法二:
如图所示,建立空间直角坐标系,
点为坐标原点。设
依题意得
(I)
所以异面直线与
所成的角的大小为
.
(II)证明:
,
(III)
又由题设,平面
的一个法向量为
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
7.如图,正四棱柱中,
,则异面直线
与
所成角为( )。
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
18.已知几何体的三视图及直观图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形。
(Ⅰ)求此几何体的体积的大小;
(Ⅱ)求异面直线与
所成角的余弦值;
(Ⅲ)试探究在上是否存在点
,使得
,并说明理由。
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
20.在直三棱柱中,
,
为
中点,
,
,异面直线
与
所成角大小为
。
(1)求三棱柱的体积;
(2)求二面角的大小。
正确答案
(1)如图建立空间直角坐标系
设,则
,
,
,
,
,
解得即
可得:三棱柱的体积为
(2)显然是平面
的一个法向量,
设为平面
的一个法向量,
,
所以二面角的大小为
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
12.有六根细木棒,其中较长的两根分别为a、
a,其余四根均为a,用它们搭成三棱锥,则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
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