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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,是以为直径的半圆上异于的点,矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面,且.

(1)求证:

(2)若异面直线所成的角为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

正确答案

见解析。

解析

(1)∵平面垂直于圆所在的平面,两平面的交线为平面,∴垂直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内,∴.∵是直角,∴,∴平面,∴.

(2)

如图,以点为坐标原点,所在的直线为轴,过点平行的直线为轴,建立空间直角坐标系.由异面直线所成的角为

,由题设可知,∴.设平面的一个法向量为

,取,得.

.又平面的一个法向量为,∴.

平面与平面所成的锐二面角的余弦值.         

知识点

异面直线及其所成的角线面角和二面角的求法
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

10.若一系列的函数解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.那么函数解析式为y=2x2+1,值域为{3,19}的“孪生函数”共有(  )

A15个

B12个

C9个

D8个

正确答案

C

解析

知识点

异面直线及其所成的角
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

8.在正三棱锥中,中点,且所成角为,则 与底面所成角的正弦值为(     ).

正确答案

解析

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知识点

异面直线及其所成的角线面角和二面角的求法
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

8. 把一副三角板ABC与ABD摆成如图所示的直二面角D-AB-C,

则异面直线DC与AB所成角的正切值为 (   )


A

B

C

D不存在

正确答案

B

解析

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知识点

异面直线及其所成的角平面与平面垂直的判定与性质
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

7.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是棱CC1与D1C1的中点,则直线EF与A1C1所成角正弦值是(    )

A1

B

C

D

正确答案

C

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知识点

棱柱的结构特征异面直线及其所成的角
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

19.如图,在五面体中,平面, ,的中点,

(I)求异面直线所成的角的大小;

(II)证明平面平面

(III)求二面角的余弦值。

正确答案

方法一:

(Ⅰ)解:由题设知,BF//CE,所以∠CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点,连结EP,PC。因为FEAP,所以FAEP,同理ABPC。又FA⊥平面ABCD,所以EP⊥平面ABCD。而PC,AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC,EP⊥AD。由AB⊥AD,可得PC⊥AD设FA=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=,故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°

(II)证明:因为

(III)

由(I)可得,

方法二:

如图所示,建立空间直角坐标系,

为坐标原点。设依题意得      

(I)    

所以异面直线所成的角的大小为.

(II)证明:  

(III)

又由题设,平面的一个法向量为

解析

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知识点

异面直线及其所成的角
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

7.如图,正四棱柱中,,则异面直线所成角为(   )。

正确答案

解析

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知识点

异面直线及其所成的角
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

18.已知几何体的三视图及直观图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形。

(Ⅰ)求此几何体的体积的大小;

(Ⅱ)求异面直线所成角的余弦值;

(Ⅲ)试探究在上是否存在点,使得,并说明理由。

正确答案

解析

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知识点

组合几何体的面积、体积问题简单空间图形的三视图异面直线及其所成的角
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

20.在直三棱柱中,中点,,异面直线所成角大小为

(1)求三棱柱的体积;

(2)求二面角的大小。

正确答案

(1)如图建立空间直角坐标系

,则

解得

可得:三棱柱的体积为

(2)显然是平面的一个法向量,

为平面的一个法向量,

所以二面角的大小为

解析

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角线面角和二面角的求法
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

12.有六根细木棒,其中较长的两根分别为a、a,其余四根均为a,用它们搭成三棱锥,则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为(   )

A0

B

C0或

D以上皆不对

正确答案

B

解析

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知识点

异面直线及其所成的角
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