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  • 空间点、线、面的位置关系
  • 共375题
  • 空间点、线、面的位置关系
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1
题型：简答题
|
简答题 · 12 分

如图，是以为直径的半圆上异于、的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且.

（1）求证：；

（2）若异面直线和所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

正确答案

见解析。

解析

（1）∵平面垂直于圆所在的平面，两平面的交线为，平面，，∴垂直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内，∴.∵是直角，∴，∴平面,∴.

（2）

如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由异面直线和所成的角为，知，

∴，

∴，由题设可知，，∴，.设平面的一个法向量为，

由，得，，取，得.

∴.又平面的一个法向量为，∴.

平面与平面所成的锐二面角的余弦值.         

知识点

异面直线及其所成的角线面角和二面角的求法
1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

10.若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（　　）

A15个

B12个

C9个

D8个

正确答案

C

解析

略

知识点

异面直线及其所成的角
1
题型：填空题
|
填空题 · 4 分

8．在正三棱锥－中，为中点，且与所成角为，则 与底面所成角的正弦值为（     ）．

正确答案

解析

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知识点

异面直线及其所成的角线面角和二面角的求法
1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

8. 把一副三角板ABC与ABD摆成如图所示的直二面角D－AB－C，

则异面直线DC与AB所成角的正切值为 （   ）


A

B

C

D不存在

正确答案

B

解析

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知识点

异面直线及其所成的角平面与平面垂直的判定与性质
1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱CC1与D1C1的中点，则直线EF与A1C1所成角正弦值是（    ）

A1

B

C

D

正确答案

C

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知识点

棱柱的结构特征异面直线及其所成的角
1
题型：简答题
|
简答题 · 12 分

19.如图，在五面体中，平面, ，，为的中点，

（I）求异面直线与所成的角的大小；

（II）证明平面平面；

（III）求二面角的余弦值。

正确答案

方法一：

（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°

（II）证明：因为

（III）

由（I）可得，

方法二：

如图所示，建立空间直角坐标系，

点为坐标原点。设依题意得      

（I）    

所以异面直线与所成的角的大小为.

（II）证明：  ，

（III）

又由题设，平面的一个法向量为

解析

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知识点

异面直线及其所成的角
1
题型：填空题
|
填空题 · 4 分

7．如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角为（   ）。

正确答案

解析

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知识点

异面直线及其所成的角
1
题型：简答题
|
简答题 · 13 分

18．已知几何体的三视图及直观图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形。

（Ⅰ）求此几何体的体积的大小；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅲ）试探究在上是否存在点，使得，并说明理由。

正确答案

解析

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知识点

组合几何体的面积、体积问题简单空间图形的三视图异面直线及其所成的角
1
题型：简答题
|
简答题 · 14 分

20．在直三棱柱中，，为中点，，，异面直线与所成角大小为。

（1）求三棱柱的体积；

（2）求二面角的大小。

正确答案

（1）如图建立空间直角坐标系

设，则，，，

，

，

解得即

可得：三棱柱的体积为

（2）显然是平面的一个法向量，

设为平面的一个法向量，

，

所以二面角的大小为

解析

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角线面角和二面角的求法
1
题型： 单选题
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单选题 · 5 分

12．有六根细木棒，其中较长的两根分别为a、a,其余四根均为a,用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为（   ）

A0

B

C0或

D以上皆不对

正确答案

B

解析

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知识点

异面直线及其所成的角
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