空间点、线、面的位置关系
共375题

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题型：单选题

单选题 · 5 分

8．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E， F，且，则下列结论中错误的是（）

C直线与平面所成的角为定值

D异面直线所成的角为定值

正确答案

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，为空间四点．在中，．等边三角形以为轴运动．

（Ⅰ）当平面平面时，求；

（Ⅱ）当转动时，是否总有？证明你的结论．

正确答案

（Ⅰ）取的中点，连结，

因为是等边三角形，所以．

当平面平面时，

因为平面平面，

所以平面，可知

由已知可得，

在中，．

（Ⅱ）当以为轴转动时，总有．

证明如下：

①当在平面内时，因为，

所以都在线段的垂直平分线上，即．

②当不在平面内时，由（Ⅰ）知．

又因，所以．

又为相交直线，所以平面，

由平面，得．

综上所述，总有．

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知识点

异面直线及其所成的角平面与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知椭圆C过点，两焦点为、，是坐标原点，不经过原点的直线与该椭圆交于两不同点、，且直线、、的斜率依次成等比数列．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求直线的斜率；

（3）求面积的范围．

正确答案

（1）由题意得，可设椭圆方程为

则，解得

所以椭圆的方程为．

（2）消去得:

则

故

因为直线的斜率依次成等比数列

所以

由于故

（3）因为直线的斜率存在且不为，及且．

设为点到直线的距离，则

则 <

所以的取值范围为．

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 12 分

19. 如图，在三棱柱中，已知侧面，，，

（1）求证：⊥平面；

（2）设λ=(0≤λ≤1)，且平面与所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值。

正确答案

（1）因为侧面,侧面，故,

在中, 由余弦定理得：

，

所以，

故,所以,而平面.

（2）由（1）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，,.

所以,

则.设平面的法向量为，

则由,得,即，

令，则是平面的一个法向量.

侧面,是平面的一个法向量，

两边平方并化简得，

所以=1或（舍去）.

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：填空题

填空题 · 5 分

16. 过一定点的互相垂直的两条直线与圆锥曲线分别交于点A、B和C、D，如果线段AB的中点的横坐标为（为直线的斜率），则线段CD的中点的横坐标为（） .

正确答案

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60O，E，F分别是BC，PC的中点。H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为。

（1）证明：AEPD；

（2）求异面直线PB与AC所成的角的余弦值；

（3）若AB=2，求三棱锥P—AEF的体积。

正确答案

（1）略

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：填空题

填空题 · 4 分

17．如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，，若，则与的夹角等于（）．

正确答案

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．如图，沿河边AB建一水站P供甲、乙两个学校共同使用，已知学校甲离河边1千米，学校乙离河边2千米，而甲、乙两校相距千米，如果两校决定用同一种造价的水管送水。

（1）设，试将表示成送水需要的水管总长的函数；

（2）问水站P建在什么位置，购买水管的费用最低？

正确答案

（1）由题意：AB=3，CP=，DP=

故：

（2）

即：两边平方：

化简：所以

答：时，也就是水站建在离A点1千米处购买水管的费用最低。

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．如图，在四棱锥中，，，，，分别为的中点，．

（ 1）求证：平面⊥平面；

（2）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围。

正确答案

（1），分别为的中点，

为矩形，

,又

面,面,

平面⊥平面

（2） ,又，

又,所以面,

建系为轴，为轴，为轴,

，,

平面法向量，平面法向量

，可得.

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．如图，直三棱柱中，，，是棱的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

正确答案

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知识点

异面直线及其所成的角线面角和二面角的求法

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