- 棱柱、棱锥、棱台的体积
- 共170题
如图1,在梯形中,
∥
,
,
将四边形沿
折起,使平面
垂直平面
,如图2,连结
.设
是
上的动点.
(1)若为
中点,求证:
∥平面
;
(2)若,求三棱锥
的体积.
正确答案
见解析。
解析
(1)取中点
,连接
, --------------------1分
∵ 分别是
的中点,
∥
且
--------------------2分
又∥
且
∥
且
四边形
为平行四边形. --------------------4分
∥
,又
平面
平面
∥平面
-----------6分
(2). -----------------8分
平面
平面
且交于
平面
是
点到平面
的距离,
又 ------------10分
. -----------------12分
知识点
如图4, 在三棱锥中,
。
(1)求证:平面平面
;
(2)若,
,当三棱锥
的体积最大时,
求的长。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:因为,所以
,
,
因为,所以
平面
。
因为平面
,所以
。
因为,所以
,…
因为,所以
平面
。
因为平面
,所以平面
平面
。
(2)
方法1:由已知及(1)所证可知,平面
,
,
所以是三棱锥
的高。
因为,
,设
,
所以。
因为
,
当且仅当,即
时等号成立,
所以当三棱锥的体积最大时,
,
方法2:由已知及(1)所证可知,平面
,
所以是三棱锥
的高。
因为,设
,
则,
所以,1
所以
。
因为,
所以当,
有最大值
,
此时,
所以当三棱锥的体积最大时,
。
知识点
已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为
正确答案
解析
略
知识点
某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
正确答案
解析
略
知识点
已知:正方体,
,E为棱
的中点。
(1)求证:;
(2)求证:平面
;
(3)求三棱锥的体积。
正确答案
见解析。
解析
(1)
证明:连结,则
//
,
∵是正方形,∴
,∵
面
,∴
。
又,∴
面
。
∵面
,∴
,
∴。
(2)证明:
作的中点F,连结
。
∵是
的中点,∴
,
∴四边形是平行四边形,∴
,
∵是
的中点,∴
,
又,∴
。
∴四边形是平行四边形,
//
,
∵,
,
∴平面面
。
又平面
,∴
面
。
(3),
。
知识点
如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD的交点为G,AD⊥平面ABE,AE⊥EB,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥CE。
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求证:AE∥平面BFD;
(3)求三棱锥C-GBF的体积。
正确答案
见解析。
解析
知识点
如图,直三棱柱中,已知
,
,
,M、N分别是B1C1和AC的中点。
(1)求三棱锥的体积;
(2)求MN与底面ABC所成的角。
正确答案
答案: (1)8(2)
解析
(1)∵ =
……4
=
∴ ……7
(2)取中点
,连
.
∵ 分别是
的中点,
∴
∵三棱柱直三棱柱
∴
∴
∴
∴为MN与底面ABC所成的角 ……11
中,
∴
∴与底面ABC所成的角为
知识点
某几何体的三视图如图所示,则它的体积为______.
正确答案
16
解析
略
知识点
一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图2所示,若一个平行于
圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两
部分,则截面的面积为
正确答案
解析
略
知识点
已知如图:平行四边形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别是DF,BE的中点。
(1)求证:GH∥平面CDE;
(2)若CD=2,,求四棱锥F-ABCD的体积。
正确答案
见解析。
解析
(1)证法:∵EF//AD, AD//BC ∴EF//BC且EF=AD=BC
∴四边形EFBC是平行四边形 ∴H为FC的中点
又∵G是FD的中点
∴HG//CD
平面CDE,
平面CDE
∴GH//平面CDE
证法2:连结EA,∵ADEF是正方形 ∴G是AE的中点
∴在△EAB中,GH//AB
又∵AB//CD,∴GH//CD,
平面CDE,
平面CDE
∴GH//平面CDE
(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD
且FA⊥AD, ∴FA⊥平面ABCD,
∵BC=6, ∴FA=6 又∵CD=2,, CD2+DB2=BC2
∴BD⊥CD
知识点
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