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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AB=2,PA=AD=1,E,F分别是AB、PD的中点。

(1)求证:AF⊥平面PDC;

(2)求三棱锥B﹣PEC的体积;

(3)求证:AF∥平面PEC。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,

由底面ABCD是矩形,∴CD⊥DA,又PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,

∴CD⊥AF。

∵PA=AD=1,F是PD的中点,

∴AF⊥PD,

又PD∩DC=D,∴AF⊥平面PDC。

(2)解:=

∵PA⊥平面ABCD,

VB﹣PEC=VP﹣BEC==

(3)

取PC得中点M,连接MF、ME。

,E是AB的中点,∴

∴四边形AEMF是平行四边形,

∴AF∥EM。

又AF⊄平面PEC,EM⊂平面PEC,

∴AF∥平面PEC。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,直三棱柱中,,

(1)求直三棱柱的体积;

(2)若的中点,求异面直线所成的角。

正确答案

(1)4(2)

解析

解析:(1)

(2)设的中点,连结

,是异面直线所成的角。

中,

异面直线所成的角为

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,四面体中,分别是的中点,平面

(1)求三棱锥的体积;

(2)求异面直线所成角的大小。

正确答案

(1)(2)

解析

解析:(1)因为CO=,AO=1  所以  。

(2)因为O、E为中点,所以OE//CD,所以的大小即为异面直线

AE与CD所成角。

在直角三角形AEO中,,所以异面直线AE与CD所成角的大小为

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在三棱锥中,平面为侧棱上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示。

(1)证明:平面

(2)求三棱锥的体积;

(3)在的平分线上确定一点,使得平面,并求此时的长。

正确答案

见解析。

解析

(1)因为平面,所以

,所以平面,所以

由三视图可得,在中,中点,所以,所以平面

(2)由三视图可得

由⑴知平面

又三棱锥的体积即为三棱锥的体积,

所以,所求三棱锥的体积

(3)取的中点,连接并延长至,使得,点即为所求。

因为中点,所以

因为平面平面,所以平面,连接,四边形的对角线互相平分,所以为平行四边形,所以,又平面,所以在直角中,

知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图1,在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.

(1)  求证:平面(2)  求几何体的体积。

正确答案

见解析。

解析

解:(1)在图1中,可得,从而,故

中点连结,则,又面,

,,从而平面,

,,

平面

另解:在图1中,可得,从而,故

∵面ACD,面ACD,,从而平面

(2)  由(1)可知为三棱锥的高.

所以

由等积性可知几何体的体积为

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知四棱锥的底面是直角梯形,,侧面为正三角形,,如图4所示。

(1) 证明:平面

(2) 求三棱锥的体积

正确答案

见解析

解析

(1) 直角梯形,又

∴在△和△中,有

(2)∵是正三角形,

,结合几何体可知

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

在棱长为的正方体中,分别为棱的中点。

(1)求异面直线所成的角;

(1)求三棱锥的体积;

正确答案

(1)(2)

解析

解析:(1)由题意得

(或其补角)就是所求的异面直线所成的角                     2分

   计算                                    4分

 所以所求的异面直线的角大小                    6分

(2)中,有⊥面EGC

所以是三棱锥的高,                                9分

。                       12分

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,已知点在圆柱的底面圆上,为圆的直径,圆柱的表面积为

(1)求三棱锥的体积;

(2)求异面直线所成角的大小,(结果用反三角函数值表示)。

正确答案

(1)(2)

解析

解析:(1)由题意,解得.  ………………2分

在△中,,所以

在△中,,所以,       ………………4分

所以,           ………………6分

(2)取中点,连接,则

或它的补角为异面直线 与所成的角.          ………………8分

,得

由余弦定理得,        ………………10分

所以异面直线 与所成角的大小为,          ………………12分

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,三棱柱ABC—A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形,侧面BB1C1C菱形,∠CBB1=60°,AB⊥B1C。

(1)求证:平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;

(2)若AB=2,求三棱柱ABC—A1B1C1体积。

正确答案

见解析

解析

(1)由侧面AA1B1B为正方形,知AB⊥BB1

又AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以AB⊥平面BB1C1C,

又AB平面AA1B1B,所以平面AA1B1B⊥BB1C1C,   …4分

(2)由题意,CB=CB1,设O是BB1的中点,连结CO,则CO⊥BB1

由(1)知,CO⊥平面AB1B1A,且CO=BC=AB=,

连结AB1,则VC-ABB1=S△ABB1·CO=AB2·CO=,          …8分

因VB1-ABC=VC-ABB1=VABC-A1B1C1=,

故三棱柱ABC-A1B1C1的体积VABC-A1B1C1=2.                      …12分

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形,且PA=AD=1,AB=2, ,.

(1)求证:平面平面

(2)求三棱锥D-PAC的体积;

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:∵ABCD为矩形

   ∴

平面,又∵平面PAD

∴平面平面

(2) ∵

由(1)知平面,且  ∴平面

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直的判定与性质
下一知识点 : 球的体积和表面积
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