利用基本不等式求最值
共109题

· 利用基本不等式求最值

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题型：简答题

简答题 · 14 分

为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元。

（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？

（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

正确答案

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解析

（1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：

，.

∵，在上为增函数，

可求得

∴ 国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损。

（2）设平均处理成本为

，

当且仅当时等号成立，由得。

因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元。

知识点

利用基本不等式求最值

题型：简答题

简答题 · 16 分

阅读：

应用上述解法，求解下列问题：

（1）已知，，求的最小值；

（2）已知，求函数的最小值；

（3）已知正数、、，，

求证：.

正确答案

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解析

（1），

而，

当且仅当时取到等号，则，即的最小值为.

（2），

而，，

当且仅当，即时取到等号，则，

所以函数的最小值为.

（3）

当且仅当时取到等号，则.

知识点

利用基本不等式求最值类比推理

题型：填空题

填空题 · 4 分

已知当mn取得最小值时，直线与曲线的交点个数为

正确答案

解析

略

知识点

利用基本不等式求最值直线与圆锥曲线的综合问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

已知，则的最小值为_____________.

正确答案

解析

(探究性理解水平/基本不等式)

由题：=1,所以xy=2,由基本不等式得：2=xy,则8，所以

x+yx+y的最小值为

知识点

对数的运算性质利用基本不等式求最值

题型：简答题

简答题 · 18 分

函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实数均成立，则称为“圆锥托底型”函数。

（1）判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由。

（2）若是“圆锥托底型” 函数，求出的最大值。

（3）问实数、满足什么条件，是“圆锥托底型” 函数。

正确答案

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解析

（1）。，即对于一切实数使得成立，“圆锥托底型” 函数。

对于，如果存在满足，而当时，由，，得，矛盾，不是“圆锥托底型” 函数。

（2）是“圆锥托底型” 函数，故存在，使得对于任意实数恒成立。

当时，，此时当时，取得最小值2，。

而当时，也成立。

的最大值等于。

（3）①当，时，，无论取何正数，取，则有，

不是“圆锥托底型” 函数。

②当，时，，对于任意有，此时可取是“圆锥托底型” 函数。

③当，时，，无论取何正数，取，有，不是“圆锥托底型” 函数。

④当，时，，无论取何正数，取，有，不是“圆锥托底型” 函数。

由上可得，仅当时，是“圆锥托底型” 函数

知识点

求函数的值利用基本不等式求最值

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