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题型:简答题
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简答题 · 14 分

为了保护环境,某工厂在国家的号召下,把废弃物回收转化为某种产品,经测算,处理成本(万元)与处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为:,且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品,同时获得国家补贴万元。

(1)当时,判断该项举措能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,请求出国家最少补贴多少万元,该工厂才不会亏损?

(2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?

正确答案

见解析

解析

(1)根据题意得,利润和处理量之间的关系:

.

上为增函数,

可求得

∴ 国家只需要补贴万元,该工厂就不会亏损。

(2)设平均处理成本为

当且仅当时等号成立,由 得

因此,当处理量为吨时,每吨的处理成本最少为万元。

知识点

利用基本不等式求最值
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

阅读:

应用上述解法,求解下列问题:

(1)已知,求的最小值;

(2)已知,求函数的最小值;

(3)已知正数

求证:.

正确答案

见解析

解析

(1)

当且仅当时取到等号,则,即的最小值为.

(2)

当且仅当,即时取到等号,则

所以函数的最小值为.

(3)

当且仅当时取到等号,则.

知识点

利用基本不等式求最值类比推理
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

已知当mn取得最小值时,直线与曲线的交点个数为

正确答案

2

解析

知识点

利用基本不等式求最值直线与圆锥曲线的综合问题
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

已知,则的最小值为_____________.

正确答案

2

解析

(探究性理解水平/基本不等式)

由题:=1,所以xy=2,由基本不等式得:2=xy,则8,所以

x+yx+y的最小值为

知识点

对数的运算性质利用基本不等式求最值
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题型:简答题
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简答题 · 18 分

函数的定义域为,若存在常数,使得对一切实数均成立,则称为“圆锥托底型”函数。

(1)判断函数是否为“圆锥托底型”函数?并说明理由。

(2)若是“圆锥托底型” 函数,求出的最大值。

(3)问实数满足什么条件,是“圆锥托底型” 函数。

正确答案

见解析

解析

(1)。,即对于一切实数使得成立,“圆锥托底型” 函数。

对于,如果存在满足,而当时,由,得,矛盾,不是“圆锥托底型” 函数。

(2)是“圆锥托底型” 函数,故存在,使得对于任意实数恒成立。

时,,此时当时,取得最小值2,

而当时,也成立。

的最大值等于

(3)①当时,,无论取何正数,取,则有

不是“圆锥托底型” 函数。

②当时,,对于任意,此时可取是“圆锥托底型” 函数。

③当时,,无论取何正数,取,有不是“圆锥托底型” 函数。

④当时,,无论取何正数,取,有不是“圆锥托底型” 函数。

由上可得,仅当时,是“圆锥托底型” 函数

知识点

求函数的值利用基本不等式求最值
下一知识点 : 不等式与函数的综合问题
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