- 利用基本不等式求最值
- 共109题
为了保护环境,某工厂在国家的号召下,把废弃物回收转化为某种产品,经测算,处理成本(万元)与处理量
(吨)之间的函数关系可近似的表示为:
,且每处理一吨废弃物可得价值为
万元的某种产品,同时获得国家补贴
万元。
(1)当时,判断该项举措能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,请求出国家最少补贴多少万元,该工厂才不会亏损?
(2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?
正确答案
见解析
解析
(1)根据题意得,利润和处理量
之间的关系:
,
.
∵,
在
上为增函数,
可求得
∴ 国家只需要补贴万元,该工厂就不会亏损。
(2)设平均处理成本为
,
当且仅当时等号成立,由
得
。
因此,当处理量为吨时,每吨的处理成本最少为
万元。
知识点
阅读:
应用上述解法,求解下列问题:
(1)已知,
,求
的最小值;
(2)已知,求函数
的最小值;
(3)已知正数、
、
,
,
求证:.
正确答案
见解析
解析
(1),
而,
当且仅当时取到等号,则
,即
的最小值为
.
(2),
而,
,
当且仅当,即
时取到等号,则
,
所以函数的最小值为
.
(3)
当且仅当时取到等号,则
.
知识点
已知当mn取得最小值时,直线
与曲线
的交点个数为
正确答案
2
解析
略
知识点
已知,则
的最小值为_____________.
正确答案
2
解析
(探究性理解水平/基本不等式)
由题:=1,所以xy=2,由基本不等式得:2=xy
,则
8,所以
x+yx+y的最小值为
知识点
函数的定义域为
,若存在常数
,使得
对一切实数
均成立,则称
为“圆锥托底型”函数。
(1)判断函数,
是否为“圆锥托底型”函数?并说明理由。
(2)若是“圆锥托底型” 函数,求出
的最大值。
(3)问实数、
满足什么条件,
是“圆锥托底型” 函数。
正确答案
见解析
解析
(1)。,即对于一切实数
使得
成立,
“圆锥托底型” 函数。
对于,如果存在
满足
,而当
时,由
,
,得
,矛盾,
不是“圆锥托底型” 函数。
(2)是“圆锥托底型” 函数,故存在
,使得
对于任意实数恒成立。
当
时,
,此时当
时,
取得最小值2,
。
而当时,
也成立。
的最大值等于
。
(3)①当,
时,
,无论
取何正数,取
,则有
,
不是“圆锥托底型” 函数。
②当,
时,
,对于任意
有
,此时可取
是“圆锥托底型” 函数。
③当,
时,
,无论
取何正数,取
,有
,
不是“圆锥托底型” 函数。
④当,
时,
,无论
取何正数,取
,有
,
不是“圆锥托底型” 函数。
由上可得,仅当时,
是“圆锥托底型” 函数
知识点
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