热门试卷

（Ⅰ）函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＝＝.

当a>0时，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：

当a<0时，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：

综上所述，

当a>0时，f (x)的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；

当a<0时，f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a>0时，f (x)在区间(0，1)上单调递增，f (x)>f (0)＝a；

f (x)在区间(1，e]上单调递减，且f (e)＝＋a>a，所以当x∈(0，e]时，f (x)>a.

因为g(x)＝aln x－x，所以g′(x)＝－1，令g′(x)＝0，得x＝a.

①当a≥e时，g′(x)≥0在区间(0，e]上恒成立，

所以函数g(x)在区间(0，e]上单调递增，所以g(x)max＝g(e)＝a－e<a.

所以对于任意x1，x2∈(0，e]，仍有g(x1)<f(x2)．

②当0<ag′(x)>0，得0<x<a；由g′(x)<0，得e≥x>a，所以函数g(x)在区间(0，a)上单调递增，在区间(a，e]上单调递减．所以g(x)max＝g(a)＝aln a－a.

因为a－(aln a－a)＝a(2－ln a)>a(2－ln e)＝a>0，

所以对任意x1，x2∈(0，e]，总有g(x1)<f (x2)．

综上所述，对于任意x1，x2∈(0，e]，总有g(x1)<f (x2)．