热门试卷

∵一个数列{1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…}，

它的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，

…，

依此类推，对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，

则当n=7，

1+2+3+…+n===28，

∴a28=7，a29=a30=…=8，

若an-1=7，an=8，则n=29．

故答案为：29．

∵a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2），①

∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=（n-1）n（n+1），②

①-②，得nan=3n（n+1），

∴an=3n+3（n≥2）

∵n=1时，a1=1×2×3=6，满足上式

∴an=3n+3

故答案为：an=3n+3

∵===1+，

可知：当n≤5时，＜1；

当n≥6时，＞1，

又n≥6时，单调递减，

∴当n=6时，取得最大值．

故最大项为第6项．

故答案为6．

当n=1时，a1=S1=21+1-1=2；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+n-1-（2n-1+n-1-1）=2n-1+1．

上式对于n=1时也成立．

∴an=2n-1+1．

故答案为2n-1+1．

∵an=n2+kn+2①∴an+1=（n+1）2+k（n+1）+2 ②

②-①得an+1-an=2n+1+k．若数列{an}为单调递增数列，则an+1-an＞0对于任意n∈N*都成立，即 2n+1+k＞0．

移向得k＞-（2n+1），k只需大于-（2n+1）的最大值即可，而易知当n=1时，-（2n+1）的最大值 为-3，所以k＞-3

故答案为：k＞-3．

已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…，

上述数对有如下规律：（前面第一个数字表示的是数对中数字之和，后面数对中前面一个数字是逐渐增大的）

记：2=（1，1）

3=（1，2）（2，1）

4=（1，3）（2，2）（3，1）

5=（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）

…

所以，前面到和为10这一行时，这样的数对个数就有：1+2+3+…+9+10=55

数对中数字之和为12这一组中，开始往后面依次数6个就是第61个数对：

又12=（1，11）（2，10）（3，9）（4，8）（5，7）（6，6）

所以，第61个数对是（6，6）．

故答案为：（6，6）．

当n=1时，S1=2×12=2，

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2（n-1）2=4n-2，

又n=1时，a1=2，满足通项公式，

∴此数列为等差数列，其通项公式为an=4n-2，

又数列{bn}的项都满足等式an+12-2anan+1bn+an2=0，

则bn==，

即bn=．

故答案为：．

略

仔细观察数列1，3，6，10，15…可以发现：

1=1

3=1+2

6=1+2+3

10=1+2+3+4

…

∴第n项为1+2+3+4+…+n=，

∴数列1，3，6，10，15…的通项公式为an=，

故答案为an=．

（Ⅰ）若an=-3n2+11n，可以令f（n）=-3n2+11n，图象开口向下，

可得f（n）=-3n2+11n=-3（n-）2+

可以存在n=2，使得a2=-3×4+11×2=10，对于任意的n∈N都有，an≤2，

可得{an}的峰值为10；

（Ⅱ）若an=tlnn-n，a1=-1，a2=tln2-2，a3=tln3-3，ak=tlnk-k

可以令g（x）=tlnx-x，g′（x）=-1=，（x＞t）

∵若an=tlnn-n，且an不存在峰值，即不存在先增后减的情况，

即a1≥a2，-1≥tln2-2，解得t≤，

还有另外一种情况，后面每一项在t的调节下都相等，an不存在峰值，

即an=an+1，∴tlnn-n=tln（n+1）-（n+1），

解得t=，n≥2，n∈N*，

综上可得：{t|t≤或t=，n≥2，n∈N*}，

故答案为：10，{t|t≤或t=，n≥2，n∈N*}；