- 数列
- 共33563题
在等差数列{an}中，若a2=3，a3+a7=26，则a8=______．
正确答案
∵{an}为等差数列，且a2=3，a3+a7=26
由等差 数列的性质可知，a3+a7=2a5=26
∴a5=13
d=
a8=a5+3d=13+3×
故答案为：23
已知f(x)=log2(x2+7)，an=f（n），则{an}的第五项为______．
正确答案
an=f（n）=log2(n2+7)，
所以{an}的第五项a5=log2(52+7)=log232=5．
故答案为：5．
已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，又Sk=2550．
（1）求a及k值；
（2）求
正确答案
（1）∵等差数列前三项为a，4，3a，
∴2×4=a+3a，
∴a=2，
公差d=4-2=2
又∵Sk=2550，
∴2k+
∴k2+k-2550=0，
∴k=50或k=-51（不合，舍去），即k=50
（2）等差数列2，4，6，…的前n项和Sn=
于是
从而
=（1-
已直方程tan2x-
（1）写出an的表达式：（不要求严格的证明）
（2）求Sn=a1+a2+…+an；
（3）设bn=（kn-5）π，若对任何n∈N*都有an≥bn，求实数k的取值范围．
正确答案
（1）解方程得tanx=
∴当n=1时，x=
当n=2时，x=
∴a2=
依此类推：an=
∴an=(n2-
（2）Sn=(12+22+…+n2)π-
=
（3）由an≥bn得(n2-
∴kn≤n2-
∵n∈N*∴k≤n+
设f(n)=n+
易证f（n）在(0，
∵n∈N*f(2)=4，f(3)=
∴n=2，f（n）min=4
∴k≤4（15分）
设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1+a7=66，a2+a8=62，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则正整数k=______．
正确答案
设等差数列的公差为d，则
∵a1+a7=66，a2+a8=62，
∴2a1+6d=66，2a1+8d=62，
∴d=-2，a1=39
∴Sn=39n+
∴n=20时，Sn取得最大值
∵对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，
∴正整数k=20
故答案为：20
（文）设数列{an}的前n项和Sn=
正确答案
（文） （1）∵数列{ an}的前n项和Sn=
可知：an=
故数列{ an}的通项公式an=
（2）∵an=
=（1+2+3+…+n）+（12+22+32+…+n2）
=
数列{
已知等差数列{an}，a2=21，a5=9
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn的最大值．
正确答案
（1）由题意得：
∴an=25+（n-1）×（-4）=-4n+29
（2）Sn=-2n2+27n，
对称轴为n=
法2：an=-4n+29＞0得n＜
又∵n∈N*∴a1＞o…a7＞0，第八项以后都小于0
∴（Sn）max=S7=91．
已知函数f（x）=
正确答案
∵知函数f（x）=
∴an+2=
取n=2011，a2011=a2013，an+2=
可得a2013=
∴a2011是方程x2-x-1=0的根，a2011＞0
∴a2011=
∵an+2=
∴a2009=
a2007=
a2006=
依此类推可得
∴a1=
故答案为：
已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．令bn=
正确答案
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a3a6=55，a2+a7=16，得：
即
把③代入①得：d2=4，所以d=-2或d=2．
因为{an}的公差大于0，所以，d=2，
则a1=
所以，an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
则an+1=2（n+1）-1=2n+1．
所以，bn=
则Tn=b1+b2+b3+…+bn
=(1-
=1-
由Tn＜
得
即m＞
所以，m≥100．
则实数m的最小值为100．
故答案为100．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0．求公差d的取值范围．
正确答案
解析：由S12＞0及S13＜0可得
化简可得
代入可得
故公差d的取值范围为-
在正项等比数列{an}中，a5=
正确答案
设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，
由题意可得
故其通项公式为an=
记Tn=a1+a2+…+an=
Sn=a1a2…an=2-5×2-4…×2n-6=2-5-4+…+n-6=2(n-11)n2．
由题意可得Tn＞Sn，即
化简得：2n-1＞212n2-112n+5，即2n-212n2-112n+5＞1，
因此只须n＞
解得 
由于n为正整数，因此n最大为
故答案为：12
设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a4=-6，a8=2，则当n=______时，Sn取最小值．
正确答案
由a4=-6，a8=2，得4d=8，故d=2．
故 an=-6+（n-4）×2=2n-14，故此数列为递增数列．
故等差数列{an}的前6项为负数，a7=0，从第8项开始为正数，
故前6项或前7项的和最小．
故答案为 6或7
若等差数列{an}中，a1＞0，Sn表示数列的前n项和，且S4=S8，则Sn取最大值时n=______．
正确答案
∵S4=S8，
则a5+a6+a7+a8=0
即a6+a7=0
∵a1＞0
∴d＜0，a6＞0，a7＜0
Sn取最大值时n=6
故答案为：6
若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2012+a2013＞0，a2012•a2013＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是______．
正确答案
∵等差数列{an}，首项a1＞0，a2012+a2013＞0，a2012•a2013＜0，
∴a2012＞0，a2013＜0．
如若不然，a2012＜0＜a2013，则d＞0，而a1＞0，可得a2012=a1+2011d＞0，矛盾，故不可能．
因此使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n为2012．
故答案为2012．
设Sn=1+2+3=…+n，n∈N*，则f（n）=
正确答案
∵Sn=1+2+3+…+n=
∴f（n）=
∵n+
又由于n为正整数，故当n=4时，f（n）有最大值为
故答案为：
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