热门试卷

n的个位数为1时有：an=u(n2)-u(n)=0，

n的个位数为2时有：an=u(n2)-u(n)=4-2=2，

n的个位数为3时有：an=u(n2)-u(n)=9-3=6，

n的个位数为4时有：an=u(n2)-u(n)=6-4=2，

n的个位数为5时有：an=u(n2)-u(n)=5-5=0，

n的个位数为6时有：an=u(n2)-u(n)=6-6=0，

n的个位数为7时有：an=u(n2)-u(n)=9-7=2，

n的个位数为8时有：an=u(n2)-u(n)=4-8=-4，

n的个位数为9时有：an=u(n2)-u(n)=1-9=-8，

n的个位数为0时有：an=u(n2)-u(n)=0-0=0，

每10个一循环，这10个数的和为：0

2012÷10=201余2　　

余下两个数为2011和2012，a2011=0，a2012=2，

所以数列{an}的前2012项和=201x0+a2011+a2012=2．

故答案为：2．

若数列的周期为1，则a=，此时该数列为：，，0，，，0…是以3为周期的数列，不符合题意

若数列的周期为2，则x3=x1=，由x3=|a-|=可得a=1，a=0（舍）

此时该数列的项为：，1，，，0，，，0，不符合题意

∴数列的最小周期为3，此时a=，此时该数列的项为：，，0，，，0…

S2009=669(++0)++ =670

故答案为：670

∵a1=，an=1- （n≥2），

∴a2=1-=1-2=-1；

a3=1-=1-（-1）=2；

同理可求a4=，a5=-1，a6=2…

∴数列{an}是以3为周期的数列，S3=-1+2=．

∴S2009=S2007+a2008+a2009

=669S3+a1+a2

=669×+-1

=1003．

故答案为：1003．

函数 f（x）=，点An（n，f（n））（n∈N*），则，点A0表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*），

若向量=++…+，θn是与的夹角

∴tanθ==

∴Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，则

=++…

=1-+-+…-

=1-=

故答案为：

f（1）=1

f（2）=1+

f（3）=1++

…

f（n）=1+++…

所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）

=n×1+（n-1）+（n-2）…[n-（n-1）]

=n[1+++…]-[++…]

=nf（n）-[1-+1-+1-…1-]

=nf（n）-[（n-1）-f（n）+1]

=（n+1）f（n）-n

因为f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）+n=ng（n）f（n）

所以（n+1）f（n）=ng（n）f（n）

所以g（n）=

故答案为：存在，通项公式g(n)=

∵数列{an}满足a1=31，an+1=an+2n，n∈N+，

∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+31=2×+31=n（n-1）+31．

∴=n-1+．

设函数f（x）=x+-1，（x≥1），则f′(x)=1-=，令f′（x）=0，则x=，

∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，即函数f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，即函数f（x）单调递增．

∴当x=时，函数f（x）取得最小值．

根据以上函数f（x）的性质可知：对于=n-1+来说，当n=6时，此式取得最小值．

故答案为．

∵f(n)=log2(1+)(n∈N+)，

∴f（1）=log22=1，

f（1）+f（2）+f（3）=log2(××)=log24=2，

f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）

=log2(××××××)=log28=3．

…

由题设知k=2n-2，

由2n-1≤129，解得1≤n≤7，

∴[1，129]内所有“好数”的和

S=（2-2）+（22-2）+（23-2）+…+（27-2）

=-14=240．

故答案为：240．

（1）当n为偶数时，an=，

∵f（x）=2x-1，g（x）=-2x，点（a2n-1，a2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，

∴a2n=2a2n-1-1，或a2n=-2a2n-1，

当a2n=2a2n-1-1时，2a2n-1=a2n+1=n+1，∴a2n-1=，

∵数列{an} （n∈N*）的各项都为整数，

∴n为奇数时，a2n-1=，

令n=2k-1，k∈N*，则a4k-3==k，即a1，a5，a9，…，成首项为1，公差为1的等差数列；

当a2n=-2a2n-1时，a2n-1=-，

所以n为偶数时，a2n-1=-，

令n=2k′，k′∈N*，则a4k′-1=-=-k′，即a3，a7，a11，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列；

所以S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8

=（a2+a4+a6+a8）+（a1+a5）+（a3+a7）

=（2+4+6+8）+（1+2）+（-1-2）

=10；

（2）由（1）知，n为偶数时，an=，且a1，a5，a9，…，成首项为1，公差为1的等差数列，a3，a7，a11，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列，

所以S4n=S奇+S偶=[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n）==2n2+n．

故答案为：（1）10；（2）2n2+n．

由于当an= 时，数列{an}不是常数数列，它的极限==1，

且a1=1，故满足题中的两个条件．

故答案为：．

∵f(x)=(n∈N*)，∴f′（x）=nxn-1

∴ln的斜率为n，方程为y-1=n（x-1）

∴an=1-，bn=1-n

∴25an+bn=25-+1-n=26-(+n)≤16

当且仅当n=5时取等号

∴数列{25an+bn}的最大项为16

故答案为：16．

∵anbn+1＞an+bn

∴23-n2n-1+1＞23-n+2n-1

∴23-n+2n-1＜5

cn=23-n+2n-1cn+1=22-n+2n

cn+1-cn=22-n+2n-23-n-2n-1=2n-1-22-n

n≥2时，数列{Cn}单调递增

∵n=1时，23-n+2n-1=5

n=2时，23-n+3n-1=4＜5

n=3时，23-n+2n-1=5

∴n=2

故答案为：2