- 数列
- 共33563题
设u(n)表示正整数n的个位数,an=u(n2)-u(n),则数列{an}的前2012项和等于______.
正确答案
n的个位数为1时有:an=u(n2)-u(n)=0,
n的个位数为2时有:an=u(n2)-u(n)=4-2=2,
n的个位数为3时有:an=u(n2)-u(n)=9-3=6,
n的个位数为4时有:an=u(n2)-u(n)=6-4=2,
n的个位数为5时有:an=u(n2)-u(n)=5-5=0,
n的个位数为6时有:an=u(n2)-u(n)=6-6=0,
n的个位数为7时有:an=u(n2)-u(n)=9-7=2,
n的个位数为8时有:an=u(n2)-u(n)=4-8=-4,
n的个位数为9时有:an=u(n2)-u(n)=1-9=-8,
n的个位数为0时有:an=u(n2)-u(n)=0-0=0,
每10个一循环,这10个数的和为:0
2012÷10=201余2
余下两个数为2011和2012,a2011=0,a2012=2,
所以数列{an}的前2012项和=201x0+a2011+a2012=2.
故答案为:2.
在数列{an}中,如果存在正整数T,使得am+T=am对任意的非零自然数m都成立,那么称数列{an}为周期数列,其中T称为数列{an}的周期.已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N*),如果x1=,x2=a(a∈R,a≠0),当数列{xn}的周期最小时,该数列的前2009项和为______.
正确答案
若数列的周期为1,则a=,此时该数列为:
,
,0,
,
,0…是以3为周期的数列,不符合题意
若数列的周期为2,则x3=x1=,由x3=|a-
|=
可得a=1,a=0(舍)
此时该数列的项为:,1,
,
,0,
,
,0,不符合题意
∴数列的最小周期为3,此时a=,此时该数列的项为:
,
,0,
,
,0…
S2009=669(+
+0)+
+
=670
故答案为:670
已知数列{an}中,a1=,an=1-
(n≥2),则S2009=______.
正确答案
∵a1=,an=1-
(n≥2),
∴a2=1-=1-2=-1;
a3=1-=1-(-1)=2;
同理可求a4=,a5=-1,a6=2…
∴数列{an}是以3为周期的数列,S3=-1+2=
.
∴S2009=S2007+a2008+a2009
=669S3+a1+a2
=669×+
-1
=1003.
故答案为:1003.
设函数f(x)=,点A0表示坐标原点,点An(n,f(n))(n∈N*),若向量
=
+
+…+
,θn是
与
的夹角,(其中
=(1,0)),设Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn,则Sn=______.
正确答案
函数 f(x)=,点An(n,f(n))(n∈N*),则,点A0表示坐标原点,点An(n,f(n))(n∈N*),
若向量=
+
+…+
,θn是
与
的夹角
∴tanθ==
∴Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn,则
=+
+…
=1-+
-
+…
-
=1-=
故答案为:
设f(n)=1++
+…+
(n∈N*),是否存在g(n),使得等式f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+n=ng(n)f(n)总成立?若存在,请写出g(n)通项公式(不必说明理由);若不存在,说明理由.______.
正确答案
f(1)=1
f(2)=1+
f(3)=1++
…
f(n)=1++
+…
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)
=n×1+(n-1)+
(n-2)…
[n-(n-1)]
=n[1++
+…
]-[
+
+
…
]
=nf(n)-[1-+1-
+1-
…1-
]
=nf(n)-[(n-1)-f(n)+1]
=(n+1)f(n)-n
因为f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+n=ng(n)f(n)
所以(n+1)f(n)=ng(n)f(n)
所以g(n)=
故答案为:存在,通项公式g(n)=
已知数列{an}满足a1=31,an+1=an+2n,n∈N+,则的最小值是______.
正确答案
∵数列{an}满足a1=31,an+1=an+2n,n∈N+,
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+…+2×1+31=2×+31=n(n-1)+31.
∴=n-1+
.
设函数f(x)=x+-1,(x≥1),则f′(x)=1-
=
,令f′(x)=0,则x=
,
∴当0<x<时,f′(x)<0,即函数f(x)单调递减;当x>
时,f′(x)>0,即函数f(x)单调递增.
∴当x=时,函数f(x)取得最小值.
根据以上函数f(x)的性质可知:对于=n-1+
来说,当n=6时,此式取得最小值
.
故答案为.
已知f(n)=log2(1+)(n∈N+),对正整数k,如果f(n)满足:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(k+1)为整数,则称k为“好数”,那么区间[1,129]内所有“好数”的和S=______.
正确答案
∵f(n)=log2(1+)(n∈N+),
∴f(1)=log22=1,
f(1)+f(2)+f(3)=log2(×
×
)=log24=2,
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
=log2(×
×
×
×
×
×
)=log28=3.
…
由题设知k=2n-2,
由2n-1≤129,解得1≤n≤7,
∴[1,129]内所有“好数”的和
S=(2-2)+(22-2)+(23-2)+…+(27-2)
=-14=240.
故答案为:240.
已知f(x)=2x-1,g(x)=-2x,数列{an} (n∈N*)的各项都是整数,其前n项和为Sn,若点(a2n-1,a2n)在函数y=f(x)或y=g(x)的图象上,且当n为偶数时,an=,则
(1)S8=______;
(2)S4n=______.
正确答案
(1)当n为偶数时,an=,
∵f(x)=2x-1,g(x)=-2x,点(a2n-1,a2n)在函数y=f(x)或y=g(x)的图象上,
∴a2n=2a2n-1-1,或a2n=-2a2n-1,
当a2n=2a2n-1-1时,2a2n-1=a2n+1=n+1,∴a2n-1=,
∵数列{an} (n∈N*)的各项都为整数,
∴n为奇数时,a2n-1=,
令n=2k-1,k∈N*,则a4k-3==k,即a1,a5,a9,…,成首项为1,公差为1的等差数列;
当a2n=-2a2n-1时,a2n-1=-,
所以n为偶数时,a2n-1=-,
令n=2k′,k′∈N*,则a4k′-1=-=-k′,即a3,a7,a11,…,成首项为-1,公差为-1的等差数列;
所以S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8
=(a2+a4+a6+a8)+(a1+a5)+(a3+a7)
=(2+4+6+8)+(1+2)+(-1-2)
=10;
(2)由(1)知,n为偶数时,an=,且a1,a5,a9,…,成首项为1,公差为1的等差数列,a3,a7,a11,…,成首项为-1,公差为-1的等差数列,
所以S4n=S奇+S偶=[(1+2+3+…+n)+(-1-2-3-…-n)]+(1+2+3+4+…+2n)==2n2+n.
故答案为:(1)10;(2)2n2+n.
(文)已知向量=(x2+1,-x),
=(1,2
) (n为正整数),函数f(x)=
•
,设f(x)在(0,+∞)上取最小值时的自变量x取值为an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知数列{bn},其中bn=an+12-an2,设Sn为数列{bn}的前n项和,求;
(3)已知点列A1(1,a12)、A2(2,a22)、A3(3,a32)、…、An(n,an2)、…,设过任意两点Ai,Aj(i,j为正整数)的直线斜率为kij,当i=2008,j=2010时,求直线AiAj的斜率.
正确答案
(1)f(x)=•
= (x2+1,-x)• (1,2
)=x2-2
x+1(2分)
抛物线的顶点横坐标为x=>0,
开口向上,在(0,+∞)上当x=时函数取得最小值,所以an=
;(4分)
(2)∵bn=an+12-an2=(n+1)2+1-(n2+1)=2n+1.
是首项为3,公差为2的等差数列,
所以:Sn==n2+2n;
∴=
=
=
.
∴=2.
(3)∵A2008(2008,a20082),A2010(2010,2010n2),
∴k==
=4018.
在数列{an}中,若a1,a2是正整数,且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,…,则称{an}为“绝对差数列”.
(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);
(Ⅱ)若“绝对差数列”{an}中,a20=3,a21=0,数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2,n=1,2,3,…,分别判断当n→∞时,an与bn的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;
(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
正确答案
(Ⅰ)a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1.(答案不惟一)
(Ⅱ)因为在绝对差数列{an}中a20=3,a21=0.所以自第20项开始,该数列是a20=3,a21=0,a22=3,a22=3,a24=0,a25=3,a26=3,a27=o,
即自第20项开始.每三个相邻的项周期地取值3,0,3.所以当n→∞时,an的极限不存在.
当n≥20时,bn=an+an+1+an+2=6,
所以bn=6
(Ⅲ)证明:根据定义,数列{an}必在有限项后出现零项.证明如下:
假设{an}中没有零项,由于an=|an-1-an-2|,
所以对于任意的n,都有an≥1,从而
当an-1>an-2时,an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3);
当an-1<an-2时,an=an-2-an-1≤an-2-1(n≥3)
即an的值要么比an-1至少小1,要么比an-2至少小1.
令Cn=n=1,2,3,,
则0<CA≤Cn-1-1(n=2,3,4,).
由于C1是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项C1<0,这与Cn>0(n=1,2,3,,)
矛盾.
从而{an}必有零项.
若第一次出现的零项为第n项,记an-1=A(A≠0),
则自第n项开始,每三个相邻的项周期地取值0,A,A,
即
所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项.
已知数列{an}同时满足下面两个条件:①不是常数列;②它的极限就是这个数列中的项.则此数列的一个通项公式an=______.
正确答案
由于当an= 时,数列{an}不是常数数列,它的极限
=
=1,
且a1=1,故满足题中的两个条件.
故答案为:.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=0.
(I)若a>b>c,证明f(x)的图象与x轴有两个交点,且这两个交点间的距离d满足:<d<3;
(Ⅱ)设f(x)在x=(t>0,t≠1)处取得最小值,且对任意实数x,等式f(x)g(x)+anx+bn=xn+1(其中n∈N,g(x)=x2+x+1)都成立,若数列{cn}的前n项和为bn,求{cn}的通项公式.
正确答案
(I)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.
∴结合a>b>c,可得a>0,c>0.
因此ac<0,得b2-4ac>0…(1分)
即f(x)的图象与x轴有两个交点.
∵f(1)=0,得x=1是f(x)=0的一个根.
∴由根与系数的关系可知f(x)=0的另一个根是,可得d=|1-
|.
∵<0,d=1-
,且a>b>c,b=-a-c,
∴a>b=-a-c>c.
由此可得<-1-
<1,即-2<
<-
,
<1-
<3.
∴两个交点间的距离d满足:<d<3.…(3分)
(II)∵f(x)在x=处取得最小值,∴x=
是f(x)的对称轴方程.
由f(x)图象的对称性及f(1)=0可知f(t)=0. …(5分)
令x=1,得an+bn=1…①;
再令x=t,得tan+bn=tn+1…②
由①、②联解,可得bn=.…(7分)
∴n>1时,cn=-
=
=-tn.
又∵n=1时,c1=b1==-t,也符合
∴{cn}是首项为c1=-t,公比为q=t的等比数列,且{cn}的通项公式cn=-tn. …(8分)
若函数f(x)=(n∈N*)图象在点(1,1)处的切线为ln,ln在x轴,y轴上的截距分别为an,bn,则数列{25an+bn}的最大项为______.
正确答案
∵f(x)=(n∈N*),∴f′(x)=nxn-1
∴ln的斜率为n,方程为y-1=n(x-1)
∴an=1-,bn=1-n
∴25an+bn=25-+1-n=26-(
+n)≤16
当且仅当n=5时取等号
∴数列{25an+bn}的最大项为16
故答案为:16.
已知an=2-n+3,bn=2n-1,则满足anbn+1>an+bn的正整数n的值为______.
正确答案
∵anbn+1>an+bn
∴23-n2n-1+1>23-n+2n-1
∴23-n+2n-1<5
cn=23-n+2n-1cn+1=22-n+2n
cn+1-cn=22-n+2n-23-n-2n-1=2n-1-22-n
n≥2时,数列{Cn}单调递增
∵n=1时,23-n+2n-1=5
n=2时,23-n+3n-1=4<5
n=3时,23-n+2n-1=5
∴n=2
故答案为:2
已知数列{an}满足a1=2,an+1=
2an-1
an
(n∈N+)
(1)证明{}为等差数列,并求an;
(2)若cn=(an-1)•()n,求数列{cn}中的最小值.
(3)设f(n)=(n∈N+),是否存在m∈N+使得f(m+15)=5f(m)成立?
正确答案
(1)由题意可得:an+1-1=-1=
,
所以 =
=1+
…(2分)
所以 {}是首项为
=1,公差为1的等差数列,
并且 =1+(n-1)×1=n,
所以可得:an=1+…(4分)
(2)由(1)可得:cn=×(
)n,根据题意设{cn}中最小者为cm
所以有 ,即
…(6分)
解得 …(8分)
所以{cn}中最小值为c7=c8=…(9分)
(3)由已知得f(n)=…(10分)
①当m为奇数时,m+15为偶数,则 有f(m+15)=5f(m),
所以由题意可知:3(m+15)+2=5(m+5),解得 m=11…(12分)
②当m为偶数时,m+15为奇数,则 有(m+15)+5=5(3m+2),所以解得m=(舍去),
故存在m=11使得等式成立…(13分)
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