热门试卷

解：(1)a1=2，a2=6，a3=12；

(2)依题意An(an，0)，，

则，

在正三角形中，有，

∴，

∴，

∴，①

同理可得，②

②-①并变形得，

，

∴，

∴，

∴数列{an+1-an}是以a2-a1=4为首项，公差为2的等差数列，

∴，

∴

，

∴。

(3)，

∴，

∴

，

∵当n∈N*时，上式恒为负值，

∴当n∈N*时，bn+1＜bn，

∴数列{bn}是递减数列，

∴bn的最大值为，

若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，

则不等式在m∈[-1，1]时恒成立，

即不等式t2-2mt＞0在m∈[-1，1]时恒成立，

设f(m)=t2-2mt，则f(1)＞0且f(-1)＞0，

∴，解之，得t＜-2或t＞2，

即t的取值范围是(-∞，-2)∪(2，+∞)。

解：（1）

。

（2）设每项均是正整数的有穷数列A为，则为，，，…，，从而

又，

所以

故。

（3）证明：设A是每项均为非负整数的数列

当存在，使得时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，

则

当存在，使得时，

若记数列为C，

则

所以

从而对于任意给定的数列，由

可知

又由（2）可知，

所以

即对于，要么有，要么有

因为是大于2的整数，

所以经过有限步后，必有

即存在正整数K，当时，。

解：(Ⅰ)由已知得。

(Ⅱ)，，…

，…

∴猜想：，

以下用数学归纳法证明之。

①当n=1时，，猜想成立；

②当n=k（k≥1，k∈N*）时，猜想成立，即，

那么

，

，

∴n=k+1时，猜想成立，

由①②，根据数学归纳法原理，对任意n∈N*，猜想成立；

∴当n为奇数时，；

当n为偶数时，；

即数列{an}的通项公式为。

 (Ⅲ)由(Ⅱ)得，

显然；

当n为偶数时，

；

当n为奇数时，

综上所述，。

解：（1）由题设得，且均为非负整数，所以a3的可能的值为1、2、5、10，

若a3=1，则a4=10，，与题设矛盾；

若a3=5，则a4=2，，与题设矛盾；

若a3=10，则a4=1，，与题设矛盾；

所以a3=2；

（2）用数学归纳法证明：

①当，等式成立；

②假设当时等式成立，即，

由题设，

因为，

所以，

也就是说，当n=k+1时，等式成立。

根据①②，对于所有n≥3，有。

（3）由及

得……，

即……，

所以。

解：（1）n=2时，

由已知a1=2，a2=6，得|36-2a3|＜1，

因为a3为正整数，

所以a3=18，同理a4=54。

（2）由（1）可猜想：an=2·3n-1，（*）

给出证明：①n=1，2时（*）式成立；

②假设当n=k-1与n=k时（*）式成立，即

于是

整理得

于是得

因为ak+1为正整数，

所以

即当n=k+1时（*）式仍成立

综上所述，对于任意的n∈N*，有成立

故数列{an}的通项公式为。

（3）由

得

故。

（1）证明：已知a1是奇数，假设ak=2m﹣1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得

a k+1==m（m﹣1）+1是奇数．

根据数学归纳法，

对任何n≥2，an都是奇数．

（2）解：由a n+1﹣an=（an﹣1）（an﹣3）知，a n+1＞an当且仅当an＜1或an＞3．

另一方面，若0＜ak＜1，则0＜a k+1＜=1；

若ak＞3，则a k+1＞=3．

根据数学归纳法得，0＜a1＜10＜an＜1，n∈N+；

a1＞3an＞3，n∈N+．

综上所述，对一切n∈N+都有a n+1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．

解：（1）由题设有，a1=1，解得，

由题设又有，b1=4，解得；

（2）由题设，2an+1为bn与bn+1的等比中项，a1=1，b1=4，及，，

进一步可得，

猜想，，n∈N*，

先证，n∈N*，

当n=1时，，等式成立；

当n≥2时用数学归纳法证明如下：

（1）当n=2时，，等式成立；

（2）假设n=k时等式成立，即，k≥2，

由题设，，　　① 　　

，②

①的两边分别减去②的两边，整理得，

从而．

这就是说，当n=k+1时等式也成立．

根据（1）和（2）可知，等式对任何的n≥2成立．

综上所述，等式对任何的n∈N*都成立；

再用数学归纳法证明，n∈N*。

（1）当n=1时，=4，等式成立；

（2）假设当n=k时等式成立，

即，那么，

这就是说，当n=k+1时等式也成立．

根据（1）和（2）可知，等式对任何的n∈N*都成立。

(1)解：，

；

(2)①解：因为，

所以，对任意的n∈N*有，

即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6．

又数列{bn}的前6项分别为1，2，2，1，，且这六个数的和为7。

设数列{bn}的前n项和为Sn，则

当n=2k(k∈N*)时，；

当n=2k+1(k∈N*)时，

，

所以，当n为偶数时，；当n为奇数时，；

②证明：由①知：对任意的n∈N*有bn+6=b6，

又数列{bn}的前6项分别为1，b，b，1，，且这六个数的和为，

设(其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6})，

所以

，

所以，数列{a6n+i}为以为公差的等差数列．

因为b＞0时，，b＜0时，，

所以{a6n+i}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次，

所以数列{an}中任意一项的值最多在此数列中出现6次，

即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次。

解：（1）由题设，可得

所以；

（2）由题设，可得

则

①式减去②式，得

①式加上②式，得

③式两边同乘q，得

所以

；

（3）证明：

因为d≠0，b1≠0，

所以

（i）若kn≠ln，取i=n

（ii）若kn=ln，取i满足

由（i），（ii）及题设知，1＜i≤n，且

即

又

所以

因此

即。

②当时，同理可得

因此

综上。

解：(Ⅰ)a1=0，a2=1+2a1=1，a3=2+2a1=2，a4=l+2a2=3，

a5=3+2a2=5；a6=l+2a3=5，a7=4+2a3=8；

(Ⅱ)由题设，对于任意的正整数n，都有：，

∴，

∴数列是以为首项，为公差的等差数列，

∴；

(Ⅲ)对于任意的正整数k，

当n= 2k或n=1，3时，an＜an+1；

当n=4k+l时，an=an+1；

当n=4k+3时，an＞an+1。证明如下：首先，由al=0，a2=1，a3=2，a4=3可知n=1，3时，an＜an+1；

其次，对于任意的正整数k，

n=2k时，

an-an+1=a2k-a2k+1=(1+2ak)-(k+l+2ak)=-k＜0；

n=4k+l时，

an-an+1=a4k+l-a4k+2=(2k+1+2a2k)-(1+2a2k+1)=2k+2a2k-2a2k+1=2k+2(1+2ak)-2(k+1+2ak)=0，

所以an=an+1；

n=4k+3时，

an-an+1=a4k+3-a4k+4=(2k+2+2a2k+1)-(1+2a2k+2)

=2k+l+2a2k+l-2a2k+2=2k+1+2(k+1+2ak)-2(1+2ak+l)=4(k+ak-ak+l)+l，

事实上，我们可以证明：对于任意正整数k，k+ak≥ak+1(*)（证明见后），

所以，此时an＞an+1； 综上可知：结论得证。

对于任意正整数k，k+ak≥ak+1(*)的证明如下：

1)当k=2m(m∈N*)时，

k+ak-ak+1=2m+a2m-a2m+1=2m+(1+2am)-(m+l+2am)=m＞0，满足(*)式；

2)当k=l时，1+a1=l=a2，满足(*)式；

3)当k=2m+l(m∈N*)时，

k+ak-ak+1=2m+l+a2m+l-a2m+2=2m+l+（m+1+2am）-(1+2am+1)

=3m+l+2am-2am+1=2（m+ am-am+1）+(m+1)，

于是，只须证明m+am-am+1≥0，

如此递推，可归结为1）或2）的 情形，于是(*)得证。

解：，

∴当n≥2时，代入，得，

（Ⅰ）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

 ，

∴，

同理，

，

…

，

∴，

又，

∴，

∴。 

（Ⅲ），

∴，

∴。

（Ⅳ），

∴，

∴，

当n≥3时，，

∴，

∴，

，

，

…

，

∴，

故。

解：（Ⅰ）当n=1时，有，

由于an＞0，所以a1=1；

当n=2时，有，

将a1=1代入上式，由于an＞0，所以a2=2；

（Ⅱ）由于

则有，②

②-①，得，

由于an＞0，所以，③

同样有

③-④，得，

所以，

由于a2-a1=1，

即当n≥1时都有，

所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an=n；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知an=n，

则，

所以

，

 ，

∴数列{Sn}单调递增，所以，

要使不等式对任意正整数n恒成立，只要，

∵1-a＞0，

∴0＜a＜1，

∴1-a＞a，即，

所以，实数a的取值范围是。

解：（1）；

（2）① 任意，设，则

即

②假设（矛盾）

∴

∴ 在数列中，但不在数列中的项恰为；

（3）

，，

∵

∴当时，依次有

∴。

解：（1）当n=1时，

当n=2时，。

（2）当1≤n≤25时，a1=a2=…=an-1=an=1

∴

当26≤n≤60时

∴第n天的利润率。

（3）当1≤n≤25时，是递减数列，此时bn的最大值为

当26≤n≤60时

（当且仅当，即n=50时，“=”成立）

又∵

∴n=1时，

∴该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为。