热门试卷

解：(1)由已知，得，

又，得；

(2)当n≥2时，，①

，②

由①-②得，

所以，

所以数列皆为等差数列，

所以，；

综上，，所以。

(3)由(2)得

，

又，

所以等式成立．

（1）解：∵a1=1，a2=2，

∴a3=5a2﹣3a1=7，a4=5a3﹣3a2=29

（2）证明：假设an，a n+1，a n+2中存在两项为偶数，若有相邻两项为偶数，

不妨设an，a n+1为偶数，

由已知3a n﹣1=5an﹣a n+1或a n﹣1=an﹣a n+1，

得a n﹣1必为偶数，以此类推，可得a1为偶数，与已知条件矛盾，

若有不相邻两项为偶数，不妨设an，a n+2为偶数，

由已知5a n+1=3an+a n+2或a n+1=an+a n+2得a n+1必为偶数，

以此类推，可得a1为偶数，与已知条件矛盾，

故任意相邻三项不可能有两个偶数

（3）解：由n=1，2显然满足题意，

下证：n≥3时，无满足题意的n，

设使得an是4的倍数的最小下标为m，则

由（1）知m＞4，

由于am是偶数，由（2）知a m﹣1，a m﹣2为奇数，

再由已知条件知a m﹣3为偶数

又a m﹣1=5a m﹣2+a m﹣3或am=a m﹣1+a n﹣2得3a m﹣3=4a m﹣2﹣am，

从而a m﹣3也为4的倍数，与假设矛盾，

综上所述，当n≥3时，无满足题意的n使得 ，

故n=1，2

解：(1)a45=49；

(2)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3(j-1）；

第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5(j-1)，……，

第i行是首项为4+3(i-1)，公差为2i+1的等差数列，

因此aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j。

(3)必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j，使得N=i(2j+1)+j，

从而2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(j+1)，

即正整数2N+1可以分解成两个不是的正整数之积。

充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，

由于2N+1是奇数，则它必为两个不是的奇数之积，

即存在正整数k，l，使得2N+1=(2k+1)(2l+1)，

从而N=k(2l+1)+k=akl可见N在该等差数阵中；

综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．

解：（1）∵a1=1

∴a2=3+1=4，a3=32+4=13。

（2）证明：由已知an-an-1=3n-1，

故

所以证得。

解：(1)第1年末的住房面积，

第2年末的住房面积；

(2)第3年末的住房面积，

第4年末的住房面积，

第5年末的住房面积

，

依题意可知，1.6a-6b=1.3a，解得，

∴每年拆除的旧住房面积b为。

解：（1）由已知：{an}满足a1=1，an=an-1+3n-2（n≥2），

∴a2=a1+4=5，a3=a2+7=12。

（2）由已知：an=an-1+3n-2（n≥2）得：

an-an-1=3n-2，

由递推关系，得

an-1-an-2=3n-5，…，a3-a2=7，a2-a1=4，叠加得：

 an-a1=4+7+…+3n-2

∴（n≥2）

当n=1时，

∴数列{an}的通项公式。

解：（1）由n2-5n+4＜0，解得1＜n＜4

∵n∈N*，

∴n=2，3

∴数列中有两项a2，a3是负数。

（2）∵an=n2-5n+4=（n-）2-的对称轴方程为n=

又n∈N*，∴n=2或n=3时，an有最小值，

其最小值为a2=a3=-2。

解：（Ⅰ）当k=2时，，

令n=1得a2=2S1+1，

又a1=S1=1，得a2=3；

令n=2得a3=2S2+1=2（a1+a2）+1=9，∴a3=9，

∴a2=3，a3=9；

（Ⅱ）由，得，

两式相减，得，

即，且，

故，

故当k=-1时，，此时，{an}不是等比数列；

当k≠-1时，，

此时，{an}是首项为1，公比为k+1的等比数列；

综上，当k=-1时，{an}不是等比数列；当k≠-1时，{an}是等比数列。

解：（Ⅰ），

因为，

所以，

，

同理；

（Ⅱ）根据计算结果，可以归纳出，

当n=1时，，与已知相符，归纳出的公式成立；

假设当n=k（k∈N*）时，公式成立，即，

由，

可得，

即，

所以，

即当n=k+1时公式也成立；

综上，对于任何n∈N*都成立。

解：（Ⅰ）第一年末的住房面积

第二年末的住房面积；

（Ⅱ）第3末的住房面积

第4年末的住房面积

第5年末的住房面积

依题意可知，1.6a-6b=1.3a，解得

所以每年拆除的旧房面积为。

解：（1）由Sn+1=2Sn+1得

∴

∵

∴。

（2）由Sn+1=2Sn+1整理得Sn+1+1=2（Sn+1），

∴数列{Sn+1}是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列

∴Sn+1=2·2n-1，

∴Sn=2n-1，

∴an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2）

∵当n=1时，a1=1满足an=2n-1，

∴an=2n-1。

解：n≥2时，

，

，

∴，

∴，

(1)n=1时，；

(2)∴。

解：(1)设从2001年底起以后每年的退耕还林的土地面积（单位：万亩）依次为，

则，

，

化简得，即，

又因为n∈N*，当n=7时，，

此时完不成退耕还林计划，所以n=8．

故到2009年底两部地区才能完成退耕还林计划．

(2)设财政补助费为W亿元，

则W=(300×0.7+20)×(6370-515)×10-4≈l35（亿元），

所以西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付约135亿元．

解：假设数列{an}中存在最大项，

，

当n＜9时，，即；

当n=9时，，即；

当n＞9时，，即；

故，

所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且。