热门试卷

（Ⅰ）解：由，可得，

又，

当n=1时，，由a1=2，可得，

当n=2时，，可得。

（Ⅱ）证明：对任意n∈N*，

， ①

，    ②

②-①，得，即，

于是，

所以{cn}是等比数列。

（Ⅲ）证明：a1=2，由（Ⅱ）知，当k∈N*且k≥2时，

，

故对任意，

由①得，

所以，

因此，

于是，

故，

所以，对任意的n∈N*，

，

∴。

解：（Ⅰ）已知a1是奇数，假设是奇数，其中m为正整数，

则由递推关系得是奇数。

根据数学归纳法，对任何n∈N+，an都是奇数。

（Ⅱ）由知，，当且仅当；

另一方面，若，则；

若，则，

根据数学归纳法，；

综合所述，对一切n∈N+都有的充要条件是。

解：（I）当n=1时，，有一根为，

于是，解得；

当n=2时，有一根为，

于是，解得；

（II）由题设，

即，

当n≥2时，，代入上式得， ①

由（I）知，，

由①可得，，

由此猜想，

下面用数学归纳法证明这个结论

（i）n=1时已知结论成立；

（ii）假设n=k时结论成立，即，

当n=k+1时，由①得，即，

故n=k+1时结论也成立；

综上，由（i）、（ii）可知对所有正整数n都成立；

于是当n≥2时，，

又n=1时，，

所以{an}的通项公式为。

解：（Ⅰ）由已知，得，，

求得，

由猜想，数列是递减数列，

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证命题成立；

（2）假设当n=k时命题成立，即，

易知，那么

=，

即；

也就是说，当n=k+1时命题也成立；

结合（1）和（2）知，命题成立。

（Ⅱ）数列是B-数列。

当n=1时，；

当n≥2时，易知，

∴，

∴，

∴

∴，

所以数列是B-数列。

解：（1），

；

（2）猜想：，

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，，已知，显然成立；

②假设当n=k（k∈N*）时 ，猜想成立，即，

则当n=k+1时，，

即对n=k+1时，猜想也成立。

结合①②可知：猜想对一切n∈N*都成立。

解：（1）易求得；

（2）猜想

证明：①当n=1时，，命题成立  

②假设n=k时，成立，

则n=k+1时，

        =

       =，

所以，，

∴．

即n=k+1时，命题成立．

由①②知，n∈N*时，．

解：（1）分别令n=1，2，3，得

∵an＞0，

∴a1=1，a2=2，a3=3．

（2）由（1）的结论：猜想an=n

1）当n=1时，a1=1成立；

2）假设当n=k时，ak=k．

那么当n=k+1时，

∵2Sk+1=ak+12+k+1，

∴2（ak+1+Sk）=ak+12+k+1，

∴ak+12=2ak+1+2Sk﹣（k+1）

=2ak+1+（k2+k）﹣（k+1）=2ak+1+（k2﹣1）

∴[ak+1-（k+1）][ak+1+（k﹣1）]=0．

∵a k+1 +（k-1）＞0，

∴a k+1=k+1，这就是说，当 n=k+1时也成立，故对于n∈N*，均有 an=n.

解：（1）；

（2）；

数学归纳法证明“略”；

（3）；

=。

解：（1），；

（2）当n≥2时，

∴

∴

即。

（3）∵

∴

。

解：（1）由，得，

而、

所以，只有，

分类似可得，，

（2）证：（i）当时，易知，为奇数；

（ii）假设当时，，其中为奇数；

则当时，

 ，

所以，                                      

又、 ，所以是偶数，

而由归纳假设知是奇数，故也是奇数.                  

综上（i）、（ii）可知，的值一定是奇数．          

解：（1）因为，且

所以

解得

又

解得

所以有；

（2）由（1）知=，，，

猜想（）；

（3）①由（1）已得当n=1时，命题成立；

②假设n=k时，命题成立，即ak=

当n=k+1时，，a1+a2+……+ak=

即3++

ak+1=

即当n=k+1时，命题成立

根据①②得n∈N+，an=都成立。

解：（1）

。

（2）设每项均是正整数的有穷数列A为，则为，，，…，，从而

又，

所以

故。

（3）证明：设A是每项均为非负整数的数列

当存在，使得时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，

则

当存在，使得时，

若记数列为C，

则

所以

从而对于任意给定的数列，由

可知

又由（2）可知，

所以

即对于，要么有，要么有

因为是大于2的整数，

所以经过有限步后，必有

即存在正整数K，当时，。

（Ⅰ）解：由，可得，

又，

当n=1时，，由，可得；

当n=2时，，可得；

当n=3时，，可得。

（Ⅱ）证明：对任意n∈N*，

，    ①

，    ②

， ③

②-③，得， ④

将④代入①，可得，

即，

又，

故，

因此，所以{cn}是等比数列。

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可得，

于是，对任意k∈N*且k≥2，有

将以上各式相加，得，

即，

此式当k=1时也成立；

由④式得，

从而，

，

所以，对任意n∈N*，n≥2，

，

对于n=1，不等式显然成立。