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题型:简答题
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简答题

设各项均为正数的数列{an}满足a1=2,(n∈N*),

(Ⅰ)若a2=,求a3,a4,并猜想a2008的值(不需证明);

(Ⅱ)若2≤a1a2…an<4对n≥2恒成立,求a2的值。

正确答案

解:(Ⅰ)因

由此有

故猜想|an|的通项为

从而

(Ⅱ)令xn=log2an,则,故只需求x2的值。

设Sn表示xn的前n项和,则

≤Sn=x1+x2+…+xn<2(n≥2),

因上式对n=2成立,可得≤x1+x2

又由a1=2,得x1=1,故x2

由于a1=2,(n∈N*),得(n∈N*),

因此数列{xn+1+2xn}是首项为x2+2,公比为的等比数列,

故xn+1+2xn=(x2+2)(n∈N*),

将上式对n求和得

Sn+1-x1+2Sn=(x2+2)(1++…+)=(x2+2)(2-)(n≥2),

因Sn<2,Sn+1<2(n≥2)且x1=1,

故(x2+2)(2-)<5(n≥2),

因此(n≥2),

下证x2

若不然,假设x2

则由上式知,不等式2n-1对n≥2恒成立,但这是不可能的,

因此x2

又x2

故x2=

所以

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简答题

已知数列{an}的首项为1,对任意的n∈N*,定义bn=an+1-an

(1)若bn=n+1,求a4

(2)若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=a,b2=b(ab≠0),

①当a=1,b=2时,求数列{bn}的前3n项和;

②当a=1时,求证:数列{an}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次。

正确答案

解:(1)6,

(2)①因为

所以,对任意的n∈N*有

即数列{bn}各项的值重复出现,周期为6.

数列{bn}的前6项分别为,且这六个数的和为7.

设数列{bn}的前n项和为Sn

则当n=2k(k∈N*)时,

当n=2k+1(k∈N*)时,

所以,当n为偶数时,;当n为奇数时,

②由①知:对任意的n∈N*有

又数列{bn}的前6项分别为,且这六个数的和为

(其中i为常数且i∈{1,2,3,4,5,6}),

所以

所以,数列均为以为公差的等差数列,

因为b>0时,;b<0 时,

所以是公差不为零的等差数列,其中任何一项的值最多在该数列中出现一次,

所以数列{an}中任意一项的值最多在此数列中出现6次,

即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次.

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简答题

如图,P1(x1,y1)、P2 (x2,y2)、…、Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲线C:y2=3x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x轴的正半轴上, 且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)。

(1)写出a1、a2、a3

(2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式;

(3)设,若对任意的正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式t2-2mt+>bn恒成立,求实数t的取值范围。

正确答案

解:(1)

(2)依题意,得

由此及

由(1)可猜想:

下面用数学归纳法予以证明:

①当n=1时,命题显然成立;

②假定当n=k时命题成立,即有

则当n=k+1时,由归纳假设及

解之得不合题意,舍去)

即当n=k+1时,命题成立

由①、②知命题成立,即

(3)

所以f(x)在[1,+∞)上是增函数,

故当x=1时,f(x)取得最小值3,

即当n=1时,

解之得,t>2或t<-2

故实数t的取值范围为(-∞,-2)∪ (2,+∞)。

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简答题

已知Pn是把Pn-1Pn+1线段作n等分的分点中最靠近Pn+1的点,设线段P1P2,P2P3,…,PnPn+1,的长度分别为a1,a2,a3,…,an,其中a1=1。

(1)写出a2,a3和an的表达式;

(2)证明a1+a2+a3+…+an<3;

(3)设点Mn(n,an),在这些点中是否存在两个点同时在函数)的图象上,如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由。

正确答案

解:(1)由已知Pn﹣1Pn=(n﹣1)PnPn﹣1

令n=2,P1P2=P2P3

∴a2=1,同理

(2)∵

a1+a2+a3+…+an

而n=1时,结论成立,

故a1+a2+a3+…+an<3;

(3)假设有两个点A(p,ap),B(q,aq),都在函数上,

所以

消去k得 ①,

以下考查数列的增减情况,

当n>2时,n2﹣3n+1>0,

所以对于数列{bn}为递减数列

∴不可能存在p,q使得①式成立,因而不存在。

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简答题

有一条生产流水线,由于改进了设备,预计第一年产量的增长率为150%,以后每年的增长率是前一年的一半,设原来的产量为a,

(1)写出改进设备后的第一年,第二年,第三年的产量,并写出第n年与第n-1年(n≥2,n∈N*)的产量之间的关系式;

(2)由于设备不断老化,估计每年将损失年产量的10%,照这样下去,以后每年的产量是否始终是逐年提高?若是,请给予证明;若不是,请说明从第几年起,产量将比上一年减少。

正确答案

解:(1)设第n年的产量为an,则a1=a(1+150%),

,…,

(2)依题意,

由于

当n≥5时,

故从第5年起产量将比上一年减少。

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简答题

已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=,n∈N*,

(Ⅰ)求b1,b2,b3的值;

(Ⅱ)设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和,求证:Sn≥17n;

(Ⅲ)求证:

正确答案

解:(Ⅰ)∵

所以

(Ⅱ)由

所以当n≥2时,

于是

所以

(Ⅲ)当n=1时,结论成立;

当n≥2时,

所以

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简答题

设M为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项a1=1,前n项的和为Sn,已知对任意的整数k∈M,当整数n>k时,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立,

(1)设M={1},a2=2,求a5的值;

(2)设M={3,4},求数列{an}的通项公式.

正确答案

解:(1)由题设知,当n≥2时,

从而2a1=2,

又a2=2,

故当n≥2时,an=a2+2(n-2)=2n-2,

所以a5的值为8.

(2)由题设知,当k∈M={3,4}且n>k时,

两式相减得,即

所以当n≥8时,成等差数列,且也成等差数列.

从而当n≥8时,, (*)

所以当n≥8时,,即

于是当n≥9时,成等差数列,

从而

故由(*)式知

当n≥9时,设

当2≤n≤8时,n+6≥8,从而由(*)式知

从而

于是

因此,对任意n≥2都成立,

又由可知

故9d=2S3且16d=2S4,解得,从而

因此,数列{an}为等差数列.

由a1=1知d=2,

所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.

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简答题

设正整数数列{an}满足:a2=4,且对于任何n∈N*,有

(1)求a1,a3

(2)求数列{an}的通项an

正确答案

解:(1)据条件得, ①

当n=1时,由

即有,解得

因为a1为正整数,故

当n=2时,由

解得,所以

(2)由,猜想:

下面用数学归纳法证明.

①当n=1,2时,由(1)知均成立;

②假设n=k(k≥2)成立,则

则n=k+1时,由①得

因为k≥2时,

所以

k-1≥1,所以

,所以

即n=k+1时,成立。

由①,②知,对任意n∈N*,

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简答题

已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=2an+(-1)n,n≥1。

 (1)写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3

 (2)求数列{an}的通项公式;

 (3)证明:对任意的整数m>4,有

正确答案

解:(1)当n=1时,有:S1=a1=2a1+(-1)a1=1;

当n=2时,有:S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0;

当n=3时,有:S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2;

综上可知a1=1,a2=0,a3=2。

(2)由已知得:

化简得:

可化为:

故数列{}是以为首项, 公比为2的等比数列

 

∴ 数列{}的通项公式为:

(3)由已知得:

(m>4)。

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简答题

把正奇数列{2n-1}中的数按上小下大,左小右大的原则排列成如图“三角形”所示的数表。设是位于这个三角形数表中从上往下数第行,从左向右数第个数。

(1)若,求m,n的值;

(2)已知函数的反函数为,若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为

①求数列的前n项的和

②令,设的前n项之积为,求证:

正确答案

解:(1)∵

∴2009是正奇数列的第1005个数。

前m-1行共有个数,

前m行共有个数。

,解得m=45,

前44行共有个数,故n=15。

(2)①由,得

∵第n行第1个数为

两式相减,得

即证:

先证

1°当n=1时,显然成立;

2°假设n=k时,

则当n=k+1时,

即当n=k+1时,结论成立。

由1°,2°知,成立,

从而

     

得证。

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简答题

已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2n

(Ⅰ)求a3、a4

(Ⅱ)证明:数列{an+1-2an}是一个等比数列;

(Ⅲ)求{an}的通项公式。

正确答案

解:(Ⅰ)因为Sn=2an-2n

所以a1=2,S1=2,

由2an=Sn+2n,得

所以

(Ⅱ)由题设和①式知

所以是首项为2,公比为2的等比数列;

(Ⅲ)…+=(n+1)·2n-1

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简答题

某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形。

(1)求出f(5);

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的表达式;

(3)求的值。

正确答案

解:(1)∵f(1)=1, f(2)=5, f(3)=13, f(4)=25,

∴f(5)=25+4×4=41。

(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1,

f(3)-f(2)=8=4×2,

f(4)-f(3)=12=4×3,

f(5)-f(4)=16=4×4,

由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n

∴f(n)-f(n-1)=4(n-1),

f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),

f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3)

f(2)-f(1)=4×1,

∴f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1] =2(n-1)·n,

∴f(n)=2n2-2n+1。

(3)当n≥2时,

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简答题

已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m,n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2

(Ⅰ)求a3,a5

(Ⅱ)设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;

(Ⅲ)设cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn

正确答案

解:(Ⅰ)由题意,令m=2,n=1可得a3=2a2-a1+2=6,

再令m=3,n=1可得a5=2a3-a1+8=20.

(Ⅱ)当n∈N*时,由已知(以n+2代替m)可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8,

于是,即=8,

所以,数列{bn}是公差为8的等差数列.

(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)的解答可知{bn}是首项b1=a3-a1=6,公差为8的等差数列,

则bn=8n-2,即a2n+1-a2n-1=8n-2,

另由已知(令m=1)可得,

那么,

于是,cn=2nqn-1

当q=1时,Sn=2+4+6+…+2n=n(n+1);

当q≠1时,Sn=2·q0+4·q1+6·q2+…+2n·qn-1

两边同乘q可得qSn=2·q1+4·q2+6·q3+…+2(n-1)·qn-1+2n·qn

上述两式相减即得

所以

综上所述,

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简答题

设数列{an}前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*。

(1)求a1的值;

(2)求数列{an}的通项公式。

正确答案

解:(1)在中,令。   (2)

相减得:           

 

相减得:           

 

           

             

得:数列是以为首项,公比为的等比数列                

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简答题

数列{an}满足:a1=1,an+1=

(1)求a2,a3

(2)设bn=a2n-2,n∈N*,求证:数列{bn}是等比数列,并求其通项公式;

(3)已知cn=|bn|,求证:

正确答案

解:(1)由数列的递推关系易知:

(2)

即数列是公比为,首项为-的等比数列

(3)由(2)有

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