- 数列
- 共33563题
设各项均为正数的数列{an}满足a1=2,(n∈N*),
(Ⅰ)若a2=,求a3,a4,并猜想a2008的值(不需证明);
(Ⅱ)若2≤a1a2…an<4对n≥2恒成立,求a2的值。
正确答案
解:(Ⅰ)因,
故,
由此有,
故猜想|an|的通项为,
从而;
(Ⅱ)令xn=log2an,则,故只需求x2的值。
设Sn表示xn的前n项和,则,
由得
≤Sn=x1+x2+…+xn<2(n≥2),
因上式对n=2成立,可得≤x1+x2,
又由a1=2,得x1=1,故x2≥,
由于a1=2,(n∈N*),得
(n∈N*),
即,
因此数列{xn+1+2xn}是首项为x2+2,公比为的等比数列,
故xn+1+2xn=(x2+2)(n∈N*),
将上式对n求和得
Sn+1-x1+2Sn=(x2+2)(1++…+
)=(x2+2)(2-
)(n≥2),
因Sn<2,Sn+1<2(n≥2)且x1=1,
故(x2+2)(2-)<5(n≥2),
因此(n≥2),
下证x2≤,
若不然,假设x2>,
则由上式知,不等式2n-1<对n≥2恒成立,但这是不可能的,
因此x2≤;
又x2≥,
故x2=,
所以。
已知数列{an}的首项为1,对任意的n∈N*,定义bn=an+1-an,
(1)若bn=n+1,求a4;
(2)若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=a,b2=b(ab≠0),
①当a=1,b=2时,求数列{bn}的前3n项和;
②当a=1时,求证:数列{an}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次。
正确答案
解:(1)6,
;
(2)①因为,
所以,对任意的n∈N*有,
即数列{bn}各项的值重复出现,周期为6.
数列{bn}的前6项分别为,且这六个数的和为7.
设数列{bn}的前n项和为Sn,
则当n=2k(k∈N*)时,;
当n=2k+1(k∈N*)时,
,
所以,当n为偶数时,;当n为奇数时,
;
②由①知:对任意的n∈N*有,
又数列{bn}的前6项分别为,且这六个数的和为
;
设(其中i为常数且i∈{1,2,3,4,5,6}),
所以
,
所以,数列均为以
为公差的等差数列,
因为b>0时,;b<0 时,
,
所以是公差不为零的等差数列,其中任何一项的值最多在该数列中出现一次,
所以数列{an}中任意一项的值最多在此数列中出现6次,
即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次.
如图,P1(x1,y1)、P2 (x2,y2)、…、Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲线C:y2=3x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x轴的正半轴上, 且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)。
(1)写出a1、a2、a3;
(2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式;
(3)设,若对任意的正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式t2-2mt+
>bn恒成立,求实数t的取值范围。
正确答案
解:(1)。
(2)依题意,得
由此及
得
即
由(1)可猜想:
下面用数学归纳法予以证明:
①当n=1时,命题显然成立;
②假定当n=k时命题成立,即有
则当n=k+1时,由归纳假设及
得
即
解之得不合题意,舍去)
即当n=k+1时,命题成立
由①、②知命题成立,即。
(3)
令
则
所以f(x)在[1,+∞)上是增函数,
故当x=1时,f(x)取得最小值3,
即当n=1时,
即
解之得,t>2或t<-2
故实数t的取值范围为(-∞,-2)∪ (2,+∞)。
已知Pn是把Pn-1Pn+1线段作n等分的分点中最靠近Pn+1的点,设线段P1P2,P2P3,…,PnPn+1,的长度分别为a1,a2,a3,…,an,其中a1=1。
(1)写出a2,a3和an的表达式;
(2)证明a1+a2+a3+…+an<3;
(3)设点Mn(n,an),在这些点中是否存在两个点同时在函数)的图象上,如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由。
正确答案
解:(1)由已知Pn﹣1Pn=(n﹣1)PnPn﹣1
令n=2,P1P2=P2P3,
∴a2=1,同理
。
(2)∵
a1+a2+a3+…+an
而n=1时,结论成立,
故a1+a2+a3+…+an<3;
(3)假设有两个点A(p,ap),B(q,aq),都在函数上,
即,
所以,
,
消去k得 ①,
以下考查数列的增减情况,
,
当n>2时,n2﹣3n+1>0,
所以对于数列{bn}为递减数列
∴不可能存在p,q使得①式成立,因而不存在。
有一条生产流水线,由于改进了设备,预计第一年产量的增长率为150%,以后每年的增长率是前一年的一半,设原来的产量为a,
(1)写出改进设备后的第一年,第二年,第三年的产量,并写出第n年与第n-1年(n≥2,n∈N*)的产量之间的关系式;
(2)由于设备不断老化,估计每年将损失年产量的10%,照这样下去,以后每年的产量是否始终是逐年提高?若是,请给予证明;若不是,请说明从第几年起,产量将比上一年减少。
正确答案
解:(1)设第n年的产量为an,则a1=a(1+150%),
,…,
∴。
(2)依题意,,
由得
,
∴,
由于,
当n≥5时,,
故从第5年起产量将比上一年减少。
已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=,n∈N*,
(Ⅰ)求b1,b2,b3的值;
(Ⅱ)设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和,求证:Sn≥17n;
(Ⅲ)求证:。
正确答案
解:(Ⅰ)∵,
所以;
(Ⅱ)由,
所以当n≥2时,,
于是,
所以;
(Ⅲ)当n=1时,结论成立;
当n≥2时,
有
,
所以
。
设M为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项a1=1,前n项的和为Sn,已知对任意的整数k∈M,当整数n>k时,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立,
(1)设M={1},a2=2,求a5的值;
(2)设M={3,4},求数列{an}的通项公式.
正确答案
解:(1)由题设知,当n≥2时,,
即,
从而2a1=2,
又a2=2,
故当n≥2时,an=a2+2(n-2)=2n-2,
所以a5的值为8.
(2)由题设知,当k∈M={3,4}且n>k时,,
且,
两式相减得,即
,
所以当n≥8时,成等差数列,且
也成等差数列.
从而当n≥8时,, (*)
且,
所以当n≥8时,,即
,
于是当n≥9时,成等差数列,
从而,
故由(*)式知,
即,
当n≥9时,设,
当2≤n≤8时,n+6≥8,从而由(*)式知,
故,
从而,
于是,
因此,对任意n≥2都成立,
又由可知
,
故9d=2S3且16d=2S4,解得,从而
,
因此,数列{an}为等差数列.
由a1=1知d=2,
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
设正整数数列{an}满足:a2=4,且对于任何n∈N*,有,
(1)求a1,a3;
(2)求数列{an}的通项an。
正确答案
解:(1)据条件得, ①
当n=1时,由,
即有,解得
,
因为a1为正整数,故;
当n=2时,由,
解得,所以
。
(2)由,猜想:
,
下面用数学归纳法证明.
①当n=1,2时,由(1)知均成立;
②假设n=k(k≥2)成立,则,
则n=k+1时,由①得
,
因为k≥2时,,
所以;
k-1≥1,所以,
又,所以
,
故,
即n=k+1时,成立。
由①,②知,对任意n∈N*,。
已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=2an+(-1)n,n≥1。
(1)写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对任意的整数m>4,有。
正确答案
解:(1)当n=1时,有:S1=a1=2a1+(-1)a1=1;
当n=2时,有:S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0;
当n=3时,有:S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2;
综上可知a1=1,a2=0,a3=2。
(2)由已知得:
化简得:
可化为:
故数列{}是以
为首项, 公比为2的等比数列
故
∴ 数列{}的通项公式为:
。
(3)由已知得:
故(m>4)。
把正奇数列{2n-1}中的数按上小下大,左小右大的原则排列成如图“三角形”所示的数表。设是位于这个三角形数表中从上往下数第
行,从左向右数第
个数。
(1)若,求m,n的值;
(2)已知函数的反函数为
,若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为
。
①求数列的前n项的和
。
②令,设
的前n项之积为
,求证:
。
正确答案
解:(1)∵,
∴2009是正奇数列的第1005个数。
前m-1行共有个数,
前m行共有个数。
∴,解得m=45,
前44行共有个数,故n=15。
(2)①由,得
,
∵第n行第1个数为,
∴,
∴,
∴,
,
两式相减,得,
∴。
②,
∴,
即证:,
先证,
1°当n=1时,显然成立;
2°假设n=k时,,
则当n=k+1时,
,
即当n=k+1时,结论成立。
由1°,2°知,成立,
从而
,
即 得证。
已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2n,
(Ⅰ)求a3、a4;
(Ⅱ)证明:数列{an+1-2an}是一个等比数列;
(Ⅲ)求{an}的通项公式。
正确答案
解:(Ⅰ)因为Sn=2an-2n,
所以a1=2,S1=2,
由2an=Sn+2n,得,
得,
所以,
,
。
(Ⅱ)由题设和①式知
,
所以是首项为2,公比为2的等比数列;
(Ⅲ)…+
=(n+1)·2n-1。
某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形。
(1)求出f(5);
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的表达式;
(3)求的值。
正确答案
解:(1)∵f(1)=1, f(2)=5, f(3)=13, f(4)=25,
∴f(5)=25+4×4=41。
(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1,
f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4,
由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n
∴f(n)-f(n-1)=4(n-1),
f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),
f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3)
…
f(2)-f(1)=4×1,
∴f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1] =2(n-1)·n,
∴f(n)=2n2-2n+1。
(3)当n≥2时,
∴
。
已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m,n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2,
(Ⅰ)求a3,a5;
(Ⅱ)设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;
(Ⅲ)设cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn。
正确答案
解:(Ⅰ)由题意,令m=2,n=1可得a3=2a2-a1+2=6,
再令m=3,n=1可得a5=2a3-a1+8=20.
(Ⅱ)当n∈N*时,由已知(以n+2代替m)可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8,
于是,即
=8,
所以,数列{bn}是公差为8的等差数列.
(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)的解答可知{bn}是首项b1=a3-a1=6,公差为8的等差数列,
则bn=8n-2,即a2n+1-a2n-1=8n-2,
另由已知(令m=1)可得,,
那么,,
于是,cn=2nqn-1,
当q=1时,Sn=2+4+6+…+2n=n(n+1);
当q≠1时,Sn=2·q0+4·q1+6·q2+…+2n·qn-1,
两边同乘q可得qSn=2·q1+4·q2+6·q3+…+2(n-1)·qn-1+2n·qn,
上述两式相减即得
,
所以,
综上所述,。
设数列{an}前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*。
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式。
正确答案
解:(1)在中,令
。 (2)
,
相减得:
,
,
相减得:
,
得
得:数列是以
为首项,公比为
的等比数列
。
数列{an}满足:a1=1,an+1=。
(1)求a2,a3;
(2)设bn=a2n-2,n∈N*,求证:数列{bn}是等比数列,并求其通项公式;
(3)已知cn=|bn|,求证:
。
正确答案
解:(1)由数列的递推关系易知:
;
(2)
又
∴
∴
即数列是公比为
,首项为-
的等比数列
;
(3)由(2)有
∵
∴
。
扫码查看完整答案与解析