- 数列
- 共33563题
已知数列{an}满足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9。
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜想an的表达式；
（3）用数学归纳法证明（2）中的猜想。
正确答案
解：（1）∵a1=1，4an+1-anan+1+2an=9，
∴4a2-a2+2=9，解得a2=
同理求得a3=
（2）由a1=1，a2=
（3）证明：①当n=1时，a1=1，右端=
②假设当n=k时，等式成立，即ak=
那么，当n=k+1时，
∵4ak+1-ak·ak+1+2ak=9，
∴
即当n=k+1时，等式也成立；
由①②得对任意n∈N*，等式均成立。
我省的湘绣有着悠久的历史，下图甲、乙、丙、丁是湘绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含的小正方形的个数为an。
（1）求a5；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出an+1与an之间的关系式，并根据你得到的关系式求出an的表达式；
（3）求
正确答案
解：（1）a1=1，a2=1+3+1，a3=1+3+5+3+1，a4=1+3+5+7+5+3+1，
∴a5=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41。
（2）a1=1
a2-a1=4×1，
a3-a2=4×2，
a4-a3=4×3，
…
由此，归纳猜想：
∴
=2n2-2n+1。
（3）
在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*）。
（1）试判断数列
（2）设{bn}满足bn=anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）若λan+
正确答案
解：（1）由已知可得
故数列{
（2）
（3）将
∴
原命题等价于该式对n≥2恒成立
设
则Cn+1-Cn=
∵n=2时，Cn的最小值C2为
∴λ的取值范围是（-∞，
已知数列{an}满足a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1（n∈N*）。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{an}的前n项和Sn，求使得Sn>21-2n成立的最小整数n。
正确答案
解：（1）由an+2+2an-3an+1=0
得an+2-an+1=2（an+1-an），
∴数列{an+1-an}是以a2-a1=3为首项，公比为2的等比数列
∴an+1-an=3·2n-1，
∴n≥2时，an-an-1=3·2n-2，…，a3-a2=3·2，a2-a1=3，
累加得an-a1=3·2n-2+…+3·2+3=3（2n-1-1），
∴an=3·2n-1-2（当n=1时，也满足）。
（2）由（1）利用分组求和法得
Sn=3（2n-1+2n-2+…+2+1）-2n=3（2n-1）-2n，
Sn=3（2n-1）-2n>21-2n
得3·2n>24，
即2n>8=23，
∴n>3，
∴使得Sn>21-2n成立的最小整数n=4。
已知数列{an}满足a1=a，
(1)求当a为何值时，a4=0？
(2)设数列{bn}满足b1=-1，
正确答案
解：(1)
∴
故当
(2)∵
∴
a取数列{bn}中的任一个数，不妨设a=bn，
∵a=bn，
∴
∴
…
故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}。
已知数列{an}满足a1=1，an=3n-1+an-1（n≥2），
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）证明
正确答案
（Ⅰ）解∵
∴
（Ⅱ）证明：由已知
故
所以
下列三角形数表，假设第n行的第二个数为an（n≥2，n∈N*）
（1）依次写出第六行的所有数字；
（2）归纳出an+1与an的关系式，并求出an的通项公式；
（3）为了得三角形数表中an的值，设计了一个程序框图，请你将空白执行框内应该填写的内容填写完整。
正确答案
解：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6；
（2）依题意，
∴
所以，
当n=2时，
所以，
（3）p=p+i或
已知数列{an}的前n项和S满足：Sn=2an+（-1）n（n∈N+）。
（1）写出数列{an}的前三项a1，a2，a3；
（2）求数列{an}的通项公式。
正确答案
解：（1）
（2）当n≥2时，
…
经验证n=1时也成立，
∴
设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合： ①
(1)若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，试探究{Sn}与集合W之间的关系；
(2)设数列{bn}的通项为bn=5n-2n，且{bn}∈W，M的最小值为m，求m的值；
(3)在(2)的条件下，设
正确答案
解：(1) Sn=-n2+9n
当n=4或5时，Sn取最大值20
∴Sn≤20满足②
∴{Sn}∈W
(2) bn+1-bn=5-2n 可知{bn}中最大项是b3=7
∴ M≥7 M的最小值为7
(3) 
则bq2=bp·br
∴
∴
∵ p、q、r∈N* 
∴ {Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列
已知数列{an}满足：
（Ⅰ）求a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅲ）已知数列{bn}满足：anbn=1﹣an，Sn为数列{bn}的前n项和，证明：S1+S2+…+Sn﹣1=n（Sn﹣1）
正确答案
（Ⅰ）解：∵数列{an}满足：
∴n=1时，2a2=a1a2+1，∴
n=2时，2a3=a2a3+1，∴
n=3时，2a4=a3a4+1，∴
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式
证明：①当n=1，2，3，4时，由（Ⅰ）知结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即
∴
即n=k+1时，结论成立
由①②可知
（Ⅲ）解：由anbn=1﹣an，可得
∴S1+S2+…+Sn﹣1=（n﹣1）+
=n+
=n（1+
=n（Sn﹣1）
有一则趣题：一牧羊人赶着一群羊通过36个关口．每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊．问原来牧羊人赶着多少只羊?
正确答案
解：设牧羊人过完第n个关口后剩下an只羊，而原来共x只羊，
则
即
依题意a36=2，即
故原来牧羊人赶着2只羊。
数列{an}满足a1=-1，an+1=(n2+n-λ)an(a=1，2…)，λ是常数．
(1)当a2=-1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
正确答案
解：(1)由于
所以当
从而
(2)数列{an}不可能为等差数列；证明如下：
由
得
若存在λ使{an}为等差数列，则
即
于是
这与{an}为等差数列矛盾；
所以，不存在λ使{an}是等差数列。
已知下表：
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数，
(1)写出a45的值；
(2)写出aij的计算公式．
正确答案
解：(1)观察表格可发现，第一行的首项为4，公差为3；
第二行的首项为7，公差为5，由此可归纳总结出：
第一列是以4为首项，3为公差的等差数列，即ai1=3i+1，
第二列是以7为首项，5为公差的等差数列，即ai2=5i+2，
∴
可知第4行的公差为9，
∴
(2)由(1)可知，第i行中，
所以第i行的公差为2i+1，
∴
已知an=n·0.9n（n∈N*），
（1）判断{an}的单调性；
（2）是否存在最小正整数k，使an＜k对于n∈N* 恒成立？
正确答案
解：（1）an+1-an=（n+1）·
∴当n＜9时，an+1＞an；当n=9时，an+1=an；当n＞9时，an+1＜an，
∴a1，a2，…，a9单调递增，a9=a10，
a10，a11，…单调递减；
（2）由（1）知，an中a9和a10相等且最大，则数列中的最大项为
∴存在最小正整数k=4，使an＜4对n∈N*恒成立。
设
（Ⅰ）求x2，x3，x4的值；
（Ⅱ）归纳{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明.
正确答案
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）根据计算结果，可以归纳出
当n=1时，
假设当n=k（k∈N*）时，公式成立，即
那么，
所以，当n=k+1时，公式也成立；
综上，
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