热门试卷

解：(Ⅰ)因，

故，

由此有，

故猜想{an}的通项为。

（Ⅱ）令，Sn表示xn的前n项和，则，

由题设知x1=1且，①

，②

因②式对n=2成立，有，

又x1=1得，③

下用反证法证明：，

假设，

由①得，

因此数列是首项为，公比为的等比数列，

故，④

又由①知，

因此是首项为，公比为-2的等比数列，

所以，⑤

由④-⑤得，⑥

对n求和得，⑦

由题设知，且由反证假设，

有，

从而，

即不等式对k∈N*恒成立，但这是不可能的，矛盾；

因此x2≤，结合③式知x2=，

因此a2=2*2=，

将x2=代入⑦式得Sn=2-(n∈N*)，

所以(n∈N*)。

解：（1）由变换T的定义可得A1：0，1，1，0，0，1；

A0：1，0，1。

（2）数列A2中连续两项相等的数列至少有10对

证明：对于任意一个“0-1数列A0，A0中每一个1在A2中对应连续四项1，0，0，1，

在A0中每一个0在A2中对应的连续四项为0，1，1，0

因此，共有10项的“0-1数列”A0中的每一个项在A2中都会对应一个连续两项相等的数对，

所以A2中至少有10对连续两项相等的数对。

（3）设Ak中有bk个01数对，

中的00数对只能由Ak中的01数对得到，

所以

中的01数对有两个产生途径：

①由Ak中的1得到；

②由Ak中00得到，

由变换T的定义及A0：0，1

可得Ak中0和1的个数总相等，且共有个，

所以

所以

由A0：0，1可得A1：l，0，0，1，A2：0，1，1，0，1，0，0，1，

所以l1=1，l2=1，

当k≥3时，

若k为偶数，

…

l4=l2+22，

上述各式相加可得

经检验，k=2时，也满足

若k为奇数

…

l3=l1+2，

上述各式相加可得

经检验，k=1时，也满足

所以。

解：（1），

；

（2）由bn=，得，

代入得

，

∴，

∴，

故{bn-3}是首项为2，公比为的等比数列，

∴；

（3）由（2）得：，

∴，

∵，

∴。

解：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为

因此

即。

（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，从而由（*）式得

 恒等于0，n∈N*

所以，即

因为x1>0，

所以a>b

猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变。

（3）若b的值使得xn>0，n∈N*

由xn+1=xn（3-b-xn），n∈N*，

知0＜xn＜3-b，n∈N*，

特别地，有0＜x1＜3-b

即0＜b＜3-x1而x1∈（0，2），

所以

由此猜测b的最大允许值是1

下证当x1∈（0，2），b=1时，都有xn∈（0，2），n∈N*

①当n=1时，结论显然成立；

②假设当n=k时结论成立，即xk∈（0，2），

则当n=k+1时，xk+1=xk（2-xk）>0

又因为xk+1=xk（2-xk）=-（xk-1）2+1≤1＜2，

所以xk+1∈（0，2），故当n=k+1时结论也成立

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈（0，2）

综上所述，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn>0，n∈N*，

则捕捞强度b的最大允许值是1。

解：（1）因为

所以

一般地，当时，

即

所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，

因此

当时，

所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，

因此

故数列{an}的通项公式为。

（2）由（1）知，

于是

下面证明：当k≥6时，Wk＜1

事实上，当k≥6时，

即

又

所以当时，

故满足Wk＞1的所有k的值为3，4，5。

解：(1)因为a1=2，(n≥2，n∈N)，

所以a2=6，a3=12；

当n≥2时，，…，a3-a2=2×3，a2-a1=2×2，

所以an-a1=2[n+(n-1)+…+3+2]，

所以an=2[n+(n-1)+…+3+2+1]==n(n+1)；

当n=1时，a1=2=1×(1+1)也满足上式，

所以数列{an}的通项公式为an=n(n+1)．

(2)

，

令(x≥1)，

则f′(x)，当x≥1时f′(x)＞0恒成立，

所以f(x)在x∈[1，+∞)上是增函数，

故当x=1时，f(x)min=f(1)=3，

即当n=1时，，

要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，

则需使，即t2-2mt＞0对恒成立，

所以，解得t＞2或t＜-2，

所以实数t的取值范围为(-∞，-2)∪(2，+∞)。

解：（Ⅰ）由题意得，，。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

整理得

由题意，

解得

故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为4000元。

解：（Ⅰ）由，得，

，

，

由，得，

又，

所以，

所以，数列{an}的通项公式为。

 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知a2，a4，…，a2n是首项为，公比为，项数为n的等比数列，

所以。

解：a2=，a3=，a4=，…，an=。