- 数列
- 共33563题
已知数列
（1）求
（2）是否存在实数t，使得数列
（3）记
正确答案
解：（1）
∴
（2）
∴数列
由题意，得
∴
（3）由（2）知
所以
此时
∴Sn=
故
如果有穷数列a1，a2，a3，…，am（m为正整数）满足条件a1=am，a2=am-1，…，am=a1，即ai=am-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”。
例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”。
（1）设{bn}是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11，依次写出{bn}的每一项；
（2）设{cn}是49项的“对称数列”，其中c25，c26，…，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求{cn}各项的和S；
（3）设{an}是100项的“对称数列”，其中d51，d52，…，d100是首项为2，公差为3的等差数列，求{dn}前n项的和Sn（n=1，2，…，100）。
正确答案
解：（1）设数列
则
∴数列
（2）
（3）
由题意，得
当n≤50时，
当51≤n≤100时，
综上所述，
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）.
（1）a1=
（2） 是否存在a1，n0（a1∈R，n0∈N*）,使得当n≥n0（n∈N*）时, an恒为常数,若存在,求出a1，n0,否则说明理由;
(3) 若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*）. ,求{an}的前3k项的和S3k(用k，a表示).
正确答案
解(1) 
(2)∵
∴an≥1时, 
若0＜a1＜1时, a2=1-a1，a3=1-a2=a1,此时只需
若a1=b≥1时,不妨设若
∴
∴a1=m+
若a1=c＜0,不妨设
∴a2=-c+1∈（l，l+1）,
∴a3=a2-1=-c，a4=-c-1，
故存在三组 
(3) 
已知数列{
（2）设bn=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；
（3）设cn=（
正确答案
解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2﹣a1+2=6
再令m=3，n=1，可得a5=2a3﹣a1+8=20
（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可得a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8
于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8即bn+1﹣bn=8
所以{bn}是公差为8的等差数列
（3）由（1）（2）解答可知{bn}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列
则bn=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2
另由已知（令m=1）可得
那么
于是cn=2nqn﹣1．
当q=1时，Sn=2+4+6++2n=n（n+1）
当q≠1时，Sn=2q0+4q1+6q2++2nqn﹣1．两边同乘以q，
可得qSn=2q1+4q2+6q3++2nqn．
上述两式相减得（1﹣q）Sn=2（1+q+q2++qn﹣1）﹣2nqn=2
所以Sn=2
综上所述，Sn=
已知数列{an}中，a1=1，a n+1 a n﹣1=ana n﹣1+an2（n∈N，n≥2），且
（1）求证：k=1；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）求数列{
正确答案
证明：（1）∵
故
又因为a1=1，a n+1 a n﹣1=ana n﹣1+an2（n≥2）则
即
∵
∴a2=2k
∴k+1=2k
∴k=1.
（2）∵
∴an=
（3）因为
当x=1时，
当x≥1时，
x
由（1）﹣（2）得：
∴
综上所述：
已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列an的前n项和，对任意的n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p（p∈R）
（1）求常数p的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）记
正确答案
解：（1）∵a1=1，对任意的n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p
∴2a1=2pa12+pa1﹣p，
即2=2p+p﹣p，解得p=1；
（2）2Sn=2an2+an﹣1，①
2S n﹣1=2an﹣12+an﹣1﹣1，（n≥2），②
①﹣②即得（an﹣an﹣1﹣
因为an+an﹣1≠0，所以an﹣a n﹣1﹣
∴
（3）2Sn=2an2+an﹣1=2×
∴Sn=
∴
又2Tn=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2 n+1 ④
由④﹣③得，Tn=﹣1×21﹣（22+23+…+2n）+n2 n+1=（n﹣1）2 n+1+2
∴Tn=（n﹣1）2 n+1+2
已知数列
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求数列
（Ⅲ）若
正确答案
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
∴
一个数列中的数均为奇数时，称之为“奇数数列”． 我们给定以下法则来构造一个奇数数列{an}，对于任意正整数n，当n为奇数时，an=n；当n为偶数时，an=
（1）试写出该数列的前6项；
（2）研究发现，该数列中的每一个奇数都会重复出现，那么第10个5是该数列的第几项？
（3）求该数列的前2n项的和Tn．
正确答案
解：（1）根据题意可知
由此得：该数列的前6 项分别为1，1，3，1，5，3．
（2）这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…
仔细观察发现a5=5，a10=5，a20=5，a40=5…
即项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．
所以第10个5是该数列的第5×210﹣1=2560项．
第10个5是该数列的第2560项．
（3）由题意可得 Tn =[1+3+5+7+…+（2n﹣1）]+（a2 +a4 +a6+…+
=[1+3+5+7+…+（2n﹣1）]+（a1+a2+a3+…+
=[1+3+5+7+…+（2n﹣1）]+[1+3+5+7+…+（
=[1+3+5+7+…+（2n﹣1）]+[1+3+5+7+…+（2n﹣1﹣1）]+[1+3+5+7+…+（2n﹣2﹣1）]+…+[1+3]+[2﹣1]+1．
由于1+3+5+7+…+（2n﹣1）=
Tn =4n﹣1+4n﹣2+4n﹣3+…+41+40+1=
在数列{an}中，a1=1，an+1=
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）证明：1≤an＜2；
（Ⅲ）试用an+1表示
正确答案
解：（Ⅰ）因为a1=1，an+1=
所以
（Ⅱ）证明：当n≥2时，
所以an>1，
因为an-2=
…
所以an<2，
因为a1=1，
所以1≤an<2；
（Ⅲ）
由an+1=
得an+1-2=
所以
从而
所以
所以
已知数列，其中a2=6且
（Ⅰ）求a1，a3，a4；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（III）设数列{bn}为等差数列，其中
正确答案
解 （Ⅰ）由题意得
解得
（Ⅱ）由此猜想
下面用数学归纳法加以证明：
①当n=1时，
②假设n=k时，结论正确，即
则当
所以
所以
即当n=k+1时，结论成立，
由①②可知，{an}的通项公式{an}的通项公式
（III）证明：因为{bn}是等差数列，所以
所以
因为
由上式解得
所以
故
所以
设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2-2Sn-anSn+1=0，n=1，2，3，…，
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列
正确答案
解：(1)解：当n=1时，由已知得
同理，可解得
(2)证明：由题设，
当n≥2(n∈N*)时，
代入上式，得
∴
∴
∴
∴
∴
已知不等式
（Ⅰ）证明an＜
（Ⅱ）猜测数列{an}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n＞N时，对任意b＞0，都有an＜
正确答案
解：（Ⅰ）∵当n≥2时，
∴
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
∴
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵
则有
故取N=1024，可使当n＞N时，都有
数列
（1） 求
（2） 证明数列
（3） 求
正确答案
（1）解：
（2）证明：“略”；
（3）解：
已知数列{an}满足
（I）求数列的前三项a1，a2，a3；
（II）求证：数列 
（III）求数列{an}的前n项和Sn．
正确答案
解：（I）由 an=2an﹣1+2n﹣1（n∈N+，且n≥2）得 a4=2a3+24﹣1=81，得a3=33，
同理，可得 a2=13，a1=5．
（II）∵an=2an﹣1+2n﹣1，
∴ 
故数列 
（III）由（II）可得
∴an=（n+1）2n+1．
∴Sn=a1+a2+…+an=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）×2n+n，
记Tn=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）×2n，
则有2Tn=2×22+3×23+…+n×2n +（n+1）2n+1．
两式相减，
可得﹣Tn=2×2+22+23+…+2n﹣（n+1）2n+1=4+ 
解得 Tn=n×2n+1，故 Sn=Tn+n=n×2n+1+n=n?（2n+1+1 ）．
已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，且
（Ⅰ）求a2，a3的值；
（Ⅱ）求证：
（Ⅲ）若
正确答案
解：各项均为正数的数列{an}满足a1=1，且
∴an+1·an（an+1+an）+（an+1+an）（an+1﹣an）=0
（an+1+an）（an+1·an+an+1﹣an）=0
∴an+1·an+an+1﹣an=0
∴
∴
（Ⅰ）∵
∴a2=
（Ⅱ）由①得
∴
∴an=
（Ⅲ）∵
{n·2n}的和Sn=1·21+2·22+…+n·2n …①，
2·Sn=2·21+3·22+…+n·2n+1 …②，
∴①﹣②得﹣Sn=21+22+23+…+2n﹣n·2n+1∴﹣Sn=
{
∴数列{bn}的前n项和为：Sn+Tn=（n﹣1）2n+1+2+
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