- 数列
- 共33563题
观察此数列1，3，6，10，x，21，28，…，项之间的关系并推测出x的值是（ ）
正确答案
解析
解：由数列1，3，6，10，x，21，28，…，
可得：3-1=2，
6-3=3，
10-6=4，
∴x-10=5，解得x=15．
21-15=6，
28-21=7，
…．
因此x=15．
故选：B．
已知数列{an}的通项公式为an=
正确答案
解：∵列{an}的通项公式为an=
∴an+1=
∴an+1-an=
即an+1＞an，
∴数列{an}是单调递增数列．
解析
解：∵列{an}的通项公式为an=
∴an+1=
∴an+1-an=
即an+1＞an，
∴数列{an}是单调递增数列．
设数列{an}的通项公式为an=n2+kn（n∈N+），若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围．
正确答案
解：∵数列{an}是单调递增数列，
∴an+1＞an（n∈N+）恒成立．
又an=n2+kn（n∈N+），
∴（n+1）2+k（n+1）-（n2+kn）＞0恒成立，
即2n+1+k＞0，
∴k＞-（2n+1）（n∈N+）恒成立．
当n=1时，-（2n+1）的最大值为-3，
∴k＞-3即为所求范围．
解析
解：∵数列{an}是单调递增数列，
∴an+1＞an（n∈N+）恒成立．
又an=n2+kn（n∈N+），
∴（n+1）2+k（n+1）-（n2+kn）＞0恒成立，
即2n+1+k＞0，
∴k＞-（2n+1）（n∈N+）恒成立．
当n=1时，-（2n+1）的最大值为-3，
∴k＞-3即为所求范围．
已知数列{an}的前n项和Sn=2n+3，则an=______．
正确答案
解析
解：n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n+3）-（2n-1+3）=2n-1，
n=1时，a1=S1=21+3=5，
∴an=
故答案为：
正确答案
解析
解：依题意，第三列中的数是以3为首项，8为公差的等差数列，
∴第n列an=3+（n-1）×8=8n-5，
当n=12时，a12=8×12-5=91，
即第十二行第三列的数为91；
又奇数行自左向右是依次递增2的，偶数行自左向右是依次递减2的，
∴89所在的位置是第十二行第四列
故选：D．
已知数列{an}的通项公式是
正确答案
13
解析
解：
又n∈N*，∴n=13时an最小，
故答案为：13．
已知数列{an}的通项为
正确答案
a5
解析
解：考察函数f（x）=
∵
∴当
可知当x=
而f（5）=
∴f（6）=
故最大项为a5，其值为
故答案为：a5．
已知数列
正确答案
解析
解：由已知得到数列的通项公式an=
故选B
已知不等式
（Ⅰ）证明an＜
（Ⅱ）猜测数列{an}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n＞N时，对任意b＞0，都有an＜
正确答案
解：（Ⅰ）∵当n≥2时，
∴
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
∴
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵
则有
故取N=1024，可使当n＞N时，都有
已知数列{an}，{bn}与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：an=bn，f（bn）=g（bn+1）（n∈N*）。
（1）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），
（2）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f-1（x），b=1，f（1）＜1，证明对任意n∈N*，an+1＜an（用t表示）。
正确答案
解：（1）由题设知
又已知
由
所以
即
又
所以-2＜t＜2且t≠0
∴
（2）因为
所以
即
下面用数学归纳法证明an+1＜an（n∈N*）
（i）当n=1时，由f（x）为增函数，且
即a2＜a1，结论成立
（ii）假设n=k时结论成立，即
f（ak+1）＜f（ak），即
进而得
这就是说当n=k+1时，结论也成立
根据（i）（ii）可知，对任意的n∈N*，an+1＜an。
若数列{an}的前n项和为Sn=n2+1，则（ ）
Aan=2n-1
Ban=2n+1
C
D
正确答案
解析
解：由题意知，当n=1时，a1=s1=1+1=2，
当n≥2时，an=sn-sn-1=（n2+1）-[（n-1）2+1）]=2n-1，
经验证当n=1时不符合上式，
∴an=
故选C．
已知数列{an}中，a1=1，an+3≤an+3，an+2≥an+2．求a2007．
正确答案
解：由题设an+2≥an+2，可得a2007≥a2005+2≥a2003+2×2≥…≥a1+2×1003=2007．
由 an+2≥an+2，得an≤an+2-2，则an+3≤an+3≤an+2-2+3=an+2+1（n≥1）．
于是 a2007≤a2006+1≤a2005+1×2≤a2002+3+1×2≤a1999+3×2+1×2≤…≤a1+3×668+1×2=2007，
∴a2007=2007．
解析
解：由题设an+2≥an+2，可得a2007≥a2005+2≥a2003+2×2≥…≥a1+2×1003=2007．
由 an+2≥an+2，得an≤an+2-2，则an+3≤an+3≤an+2-2+3=an+2+1（n≥1）．
于是 a2007≤a2006+1≤a2005+1×2≤a2002+3+1×2≤a1999+3×2+1×2≤…≤a1+3×668+1×2=2007，
∴a2007=2007．
已知数列{an}中，an=n2+（λ+1）n，（x∈N*），且an+1＞an对任意x∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：∵an+1＞an，
∵an=n2+（λ+1）n恒成立
即（n+1）2+（λ+1）（n+1）＞n2+（λ+1）n，
∴λ+1＞-2n-1对于n∈N*恒成立．
而-2n-1在n=1时取得最大值-3，
∴λ+1＞-3，即λ＞-4．
故选D．
数列的通项公式是an=
正确答案
解：由题意，
解得n=7，
所以0.98是数列的第7项．
解析
解：由题意，
解得n=7，
所以0.98是数列的第7项．
已知数列{an}的通项公式为
正确答案
＜
解析
解：∵
∴
∵
∴
∴{an}是递增数列，
故an＜an+1，
故答案为：＜．
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