- 数列
- 共33563题
设
（1）证明：k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件；
（2）若
正确答案
（1）证明：an+1-an=（n+1）2-2k（n+1）+6-[n2-2kn+6]=2n+1-2k＞0，解得k＜
∴k＜
∴k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件；
（2）解：∵
∴
∵
∴2k+1≤5，
∴k≤2．
∴k的取值范围是k≤2．
解析
（1）证明：an+1-an=（n+1）2-2k（n+1）+6-[n2-2kn+6]=2n+1-2k＞0，解得k＜
∴k＜
∴k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件；
（2）解：∵
∴
∵
∴2k+1≤5，
∴k≤2．
∴k的取值范围是k≤2．
某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金196万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用24万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加8万元，该设备使用后，每年的总收入为100万元，设从今年起使用n年后该设备的盈利额为f（n）万元．
（Ⅰ）写出f（n）的表达式；
（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；
（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备．问用哪种方案处理较为合算？请说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）依题意，得
（Ⅱ）由f（n）＞0得：-4n2+80n-196＞0即n2-20n+49＜0，解得
（Ⅲ）方案①：年平均盈利为
共盈利24×7+52=220万元．
方案②：f（n）=-4（n-10）2+204，当n=10时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈利204+16=220万元．
两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．
解析
解：（Ⅰ）依题意，得
（Ⅱ）由f（n）＞0得：-4n2+80n-196＞0即n2-20n+49＜0，解得
（Ⅲ）方案①：年平均盈利为
共盈利24×7+52=220万元．
方案②：f（n）=-4（n-10）2+204，当n=10时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈利204+16=220万元．
两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．
已知数列{an}的通项公式是an=
正确答案
解析
解：由an=
∵数列{
∴数列{an}是关于n的递增数列，
故选A．
已知数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）=3x2-2x的图象上，则{an}的通项公式是（ ）
正确答案
解析
解：∵点（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）=3x2-2x的图象上，
∴
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3（n-1）2-2（n-1）]=6n-5．
当n=1时也成立．
∴an=6n-5．
故选B．
已知
正确答案
8或9
解析
解：∵
∴
=
=
令an=an+1，得 
解得：n=8
①当n≥9时，1+
②当1＜n＜9时，1+
故数列{an}的最大项为a8和a9．
故答案为：8或9．
对于数列{un}，若存在常数M＞0，对任意的n∈N*，恒有|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M，则称数列{un}为M数列．有下列命题：
（1）若数列{xn}是M数列，则数列{xn}的前n项和{Sn}是M数列；
（2）若数列{xn}的前n项和{Sn}是M数列，则数列{xn}不是M数列；
（3）若数列{an}是M数列，则数列{an2}也是M数列，
其中真命题的序号是______．
正确答案
（2），（3）
解析
解：（1）：若数列{xn}是M数列，则数列{xn}的前n项和{Sn}是M数列，此命题为假命题．
事实上设xn=1（n∈N*），易知数列xn是M数列，但Sn=n，
|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|=n．
由n的任意性知，数列Sn不是M数列．
（2）：若数列{xn}的前n项和{Sn}是M数列，则数列{xn}不是M数列．此命题为真命题．
事实上，因为数列Sn是M数列，
所以存在正数M，对任意的n∈N*，
有|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|≤M，
即|xn+1|+|xn|+…+|x2|≤M．
于是|xn+1-xn|+|xn-xn-1|+…+|x2-x1|≤|xn+1|+2|xn|+2|xn-1|+…+2|x2|+|x1|≤2M+|x1|，
所以数列xn是M数列．
（3）若数列{an}是M数列，则数列{an2}也是M数列，此命题为真命题．
若数列是{an}M数列，则存在正数M，对任意的n∈N*有
|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤M
因为|an|=|an-an-1+an-1+an-2+…+a2-a1+a1|≤|an-an-1|+|an-1-an-2|+…+|a2-a1|+|a1|≤M+|a1|
记K=M+|a1|，则有|an+12-an2|=|（an+1+an）（an+1-an）
≤（|an+1|+|an|）|an+1-an|≤2K|an+1-an|
因此|an+12-an2|+|an2-an-12|+…+|a22-a12|≤2KM
故数列{an2}是M数列．
故答案为：（2），（3）
设数列{xn}满足x1＞0，xn+1=
正确答案
解析
解：∵数列{xn}满足x1＞0，xn+1=
∴xn+1-xn=
∴与所给出的x1有关，数列{xn}既非单调递增数列，也非单调递减数列．
故选：D．
已知等差数列{an}的首项a1=11，公差d=-2，则{an}的前n项和Sn的最大值为______．
正确答案
36
解析
解：由等差数列{an}的首项a1=11，公差d=-2，
可得an=11-2（n-1）=13-2n，
令an=13-2n≥0，解得n≤6，
∴{an}的前6项和Sn的最大值为S6=
故答案为：36．
已知数列{an}的通项公式an=a•（
正确答案
解：∵an-an+1=
因此，当a＞0时，an＞an+1，数列{an}是单调递减数列；
当a＜0时，an＜an+1，数列{an}是单调递增数列．
解析
解：∵an-an+1=
因此，当a＞0时，an＞an+1，数列{an}是单调递减数列；
当a＜0时，an＜an+1，数列{an}是单调递增数列．
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=an+1-1，则an=______．
正确答案
2n-1
解析
解：由Sn=an+1-1，Sn+1=an+2-1，∴an+1=an+2-an+1，∴an+2=2an+1．
又a1=S1=a2-1，解得a2=2=2a1，
∴数列{an}是等比数列，
∴an=2n-1．
故答案为：2n-1．
已知：各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，点（an，Sn）都在直线2x-y-
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）（附加题）若an2=2-b，设Cn=
正确答案
解：由题意知2an=Sn+
当n=1时，2a1=a1+
∴a1=
当n≥2时，Sn=2an-
两式相减得an=2an-2an-1，（n≥2）；
整理得：
∴数列{an}是以
它的通项公式为an=a1•2n-1=
解析
解：由题意知2an=Sn+
当n=1时，2a1=a1+
∴a1=
当n≥2时，Sn=2an-
两式相减得an=2an-2an-1，（n≥2）；
整理得：
∴数列{an}是以
它的通项公式为an=a1•2n-1=
已知点An（n，an）为函数y=
正确答案
cn+1＜cn
解析
解：∵点An（n，an）为函数y=
∴an=
所以f（n+1）＜f（n）
故答案为：cn+1＜cn
已知
正确答案
解析
解：∵
显然，当n=9时，
当当n=8时，
故选A．
（2015秋•清远期末）已知数列{an}满足：
Aλ
Bλ
Cλ
Dλ
正确答案
解析
解：∵数列{an}满足：
∴
变形为：
∴数列
∴
∴
∵{Cn}是单调递减数列，
∴cn+1＜cn，
∴2n+1
化为：λ＞
令f（x）=x+
f′（x）=1-
而f（1）=6，f（2）=6，
∴f（x）的最小值为6，
因此
∴
故选：B．
已知实数a1，a2，…，an满足a1+a2+…+an=144（其中ai≥1，i=1，2，3，…n，n∈N*且n＞2）
（Ⅰ）当n=3时，若a1=a2，且a1，a2，a3是△ABC的三条边长，则a3的取值范围是______；
（Ⅱ）如果这n个数中任意三个数都不能构成一个三角形的三条边长，则n的最大值是______．
正确答案
[1，72）
10
解析
解：（Ⅰ）当n=3时，a1+a2+a3=144，∴144-a3=a1+a2＞a3，
∴a3＜72，
∵a3≥1，
∴a3的取值范围是[1，72）；
（Ⅱ）∵这n个数中任意三个数都不能构成一个三角形的三条边长，
∴边长在1，1，2，3，5，8，13，21，34，56中取，
∴n的最大值是10．
故答案为：[1，72）；10．
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