- 数列
- 共33563题
已知 a1=3，a2=6，且 an+2=an+1-an，则a2009=______．
正确答案
-6
解析
解：由条件an+2=an+1-an可得：an+6=an+5-an+4
=（an+4-an+3）-an+4=-an+3=-（an+2-an+1）
=-[（an+1-an）-an+1]=an，
于是可知数列{an}的周期为6，
∴a2009=a5，又a1=3，a2=6，
∴a3=a2-a1=3，a4=a3-a2=-3，
故a2009=a5=a4-a3=-6．
故答案为：-6．
已知数列{an}中，
正确答案
λ＞-3
解析
解：∵an=n2+λn①，
∴an+1=（n+1）2+λ（n+1）②
②-①得an+1-an=2n+1+λ．
由已知，数列{an}为单调递增数列，
则an+1-an＞0对于任意n∈N*都成立，即 2n+1+λ＞0．
移向得λ＞-（2n+1），λ只需大于-（2n+1）的最大值即可，
易知当n=1时，-（2n+1）的最大值 为-3，
所以λ＞-3．
故答案为：λ＞-3．
已知数列{an}的前n项和为Sn，函数f（x）=
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
正确答案
解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f‘（x）=px2-（p+q）x+q，
令f'（x）=0，得x=1或x=
再由f'（x）在x=1的左侧为负、右侧为正，故当x=1时，函数f（x）取得极小值．
再由f'（x）在x=
由于当x=a1时，函数f（x）取得极小值，故 a1 =1．
（2）函数y=2px2-qx+q-f′（x）=px2+px，
点（n，2Sn）（n∈N+）均在函数y=2px2-qx+q-f′（x）的图象上，
故有 2Sn =pn2+pn ①，故 2sn-1=p（n-1）2+p（n-1），（n＞1 ） ②．
把①②相减可得 2an=2pn，∴an=pn．
再由a1 =1可得 p=1，故an=n．
综上可得，数列{an}的通项公式为 an=n．
解析
解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f‘（x）=px2-（p+q）x+q，
令f'（x）=0，得x=1或x=
再由f'（x）在x=1的左侧为负、右侧为正，故当x=1时，函数f（x）取得极小值．
再由f'（x）在x=
由于当x=a1时，函数f（x）取得极小值，故 a1 =1．
（2）函数y=2px2-qx+q-f′（x）=px2+px，
点（n，2Sn）（n∈N+）均在函数y=2px2-qx+q-f′（x）的图象上，
故有 2Sn =pn2+pn ①，故 2sn-1=p（n-1）2+p（n-1），（n＞1 ） ②．
把①②相减可得 2an=2pn，∴an=pn．
再由a1 =1可得 p=1，故an=n．
综上可得，数列{an}的通项公式为 an=n．
设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2+n+1，n∈N+．
（1）求a1及an；
（2）判断数列{an}是否为等差数列？并说明理由．
正确答案
解：（1）当n=1时，a1=S1=2+1+1=4；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n+1-[2（n-1）2+（n-1）+1]=4n-1，
∴
（2）∵an=4n-1对于n=1时不适合，∴数列{an}不是等差数列，
而只是从n≥2时是等差数列．
解析
解：（1）当n=1时，a1=S1=2+1+1=4；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n+1-[2（n-1）2+（n-1）+1]=4n-1，
∴
（2）∵an=4n-1对于n=1时不适合，∴数列{an}不是等差数列，
而只是从n≥2时是等差数列．
已知函数f（x）=
正确答案
[7，8）
解析
解：∵{an}是单调递增数列，
∴
∴a的取值范围是[7，8）．
故答案为：[7，8）．
已知数列
正确答案
解析
解：由数列
令
故2
故选B．
已知数列{an}是递减数列，且an=（m2-2m）•（n3-2n），则实数m的取值范围为（ ）
A0＜m＜2
B0＜m＜
C-
D-
正确答案
解析
解：∵数列{an}是递减数列，
∴an＞an+1，
∴（m2-2m）•（n3-2n）＞（m2-2m）[（n+1）3-2（n+1）]，
化为（m2-2m）（3n2+3n-1）＜0，
当n≥1时，3n2+3n-1=3
∴实数m的取值范围为0＜m＜2．
故选：A．
已知数列的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=3Sn，第k项满足750＜ak＜900，则k=______．
正确答案
6
解析
解：由an+1=3Sn，当n≥2时，可得an=3Sn-1，
∴an+1-an=3an，
∴an+1=4an．
∴数列{an}是从第二开始的等比数列，a2=3．
∴
∵第k项满足750＜ak＜900，
a5=192，a6=768，a7=3172．
∴k=6．
故答案为：6．
设数列{an}，a1=1，前n项和为Sn，若Sn+1=3Sn（n∈N*），则数列{an}的第5项是（ ）
A81
B
C54
D162
正确答案
解析
解：∵a1=1，前n项和为Sn，Sn+1=3Sn（n∈N*），
∴数列{Sn}是等比数列，
∴Sn=1×3n-1=3n-1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-2=2•3n-2．
∴a5=2×33=54．
故选：C．
在数列{an}中，若a1=2，且对任意的正整数p，q都有ap+q=apaq，则a8的值为（ ）
正确答案
解析
解：∵数列{an}中，且对任意的正整数p，q都有ap+q=apaq，又a1=2，
∴令p=q=1，
则a2=a1•a1=4，
再令p=q=2，同理可求得a4=16，
最后令p=q=4，a8=a4•a4=256．
故选A．
若有穷数列{an}满足：（1）首项a1=1，末项am=k；（2）an+1=an+1或an+1=2an，（n=1，2，…，m-1），则称数列{an}为k的m阶数列．
（Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；
（Ⅱ）设数列{bn}是各项为自然数的递增数列，若
正确答案
解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10． …（2分）
（Ⅱ）由已知在数列{an}中 an+1=an+1或an+1=2an，
当an为偶数时，an-1=
因为
当要使项数m最小，只需 an-1=
当am为奇数时，必然有 an-1=an-1，（an≥2），an-1是偶数，可继续重复上面的操作．
所以要使项数m最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1．
因为an=
只需除以
减1，得到 
再除以 
再减1，得到 
…
最后得到 
所以 m=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+（b4-b3）+…+（bl-bl-1）+（l-1）+1=bl+l． …（13分）
解析
解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10． …（2分）
（Ⅱ）由已知在数列{an}中 an+1=an+1或an+1=2an，
当an为偶数时，an-1=
因为
当要使项数m最小，只需 an-1=
当am为奇数时，必然有 an-1=an-1，（an≥2），an-1是偶数，可继续重复上面的操作．
所以要使项数m最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1．
因为an=
只需除以
减1，得到
再除以
再减1，得到
…
最后得到
所以 m=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+（b4-b3）+…+（bl-bl-1）+（l-1）+1=bl+l． …（13分）
学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一会有30%改选A菜，用an表示第n个星期一选A的人数，如果a1=428，则a4的值为______．
正确答案
316
解析
解：∵a1=428，
则a2=（1-20%）•428+30%（500-428）=364，
a3=（1-20%）•364+30%（500-364）=332．
∴a4=（1-20%）•332+30%（500-332）=316．
故答案为：316．
若数列{an}的前n项和Sn=3n，则数列的通项公式是______．
正确答案
an=
解析
解：由于数列{an}的前n项和Sn=3n，故首项a1=s1=3，
当n≥2时，an=sn-sn-1=3n-3n-1=23n-1．
综上可得，an=
故答案为an=
数列{an}，通项公式为
Aa≥-1
Ba＞-3
Ca≤-2
D
正确答案
解析
解：an+1-an=[（n+1）2+2a（n+1）]-（n2+2an）=2n+1+2a，
若此数列为递增数列，则an+1-an＞0，即2n+1+2a＞0，
所以a＞-n-
而-n-
故选D．
已知函数f（x）=3x-1的反函数为f-1（x），且f-1（17）=a+2
（1）求a的值；
（2）若f-1（an-1）=log3n，Sn是数列{an}的前n项和，若不等式λan≤2n•Sn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．
正确答案
解：（Ⅰ）令y=3x-1＞-1，则x=log3（y+1），
∴f-1（x）=log3（x+1），x＞-1．
∵f-1（17）=a+2，即log318=a+2，
解得 a=log32． （6分）
（Ⅱ）∵f-1（an-1）=log3n，
∴log3an=log3n，即an=n．
则数列{an}的前n项和
要使
即使λ≤2n-1•（n+1）对任意n∈N*恒成立．
又数列
∴bn的最小值为b1=2，
∴λ≤2，即λ的最大值为2．
解析
解：（Ⅰ）令y=3x-1＞-1，则x=log3（y+1），
∴f-1（x）=log3（x+1），x＞-1．
∵f-1（17）=a+2，即log318=a+2，
解得 a=log32． （6分）
（Ⅱ）∵f-1（an-1）=log3n，
∴log3an=log3n，即an=n．
则数列{an}的前n项和
要使
即使λ≤2n-1•（n+1）对任意n∈N*恒成立．
又数列
∴bn的最小值为b1=2，
∴λ≤2，即λ的最大值为2．
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