数列_章节学习_百度题库

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题型：单选题

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单选题

数列{an}中，an=，则该数列最大项是（　　）

Aa1

Ba5

Ca6

Da7

正确答案

C

解析

解：an===2+，

当n≤5时，数列{an}单调递减，an＜2；当n≥6时，数列{an}单调递减，an＞2．

∴当n=6时，数列{an}取得最大值．

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

己知数列{an}是一个单调递减数列，其通项公式是an=-n2+λn（其中n∈N*）则常数λ的取值范围______．

正确答案

（-∞，3）

解析

解：∵数列{an}是一个单调递减数列，

∴an+1-an=-（n+1）2+λ（n+1）-[-n2+λn]＜0，

化为λ＜2n+1，

∵数列{2n+1}是单调递增数列，其最小值为2×1+1=3．

∴λ＜3．

因此常数λ的取值范围是（-∞，3）．

故答案为：（-∞，3）．

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题型：填空题

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填空题

若数列{an}是递减数列，且an=-2n2+λn-9恒成立，则实数λ的取值范围为______．

正确答案

λ＜6

解析

解：∵数列{an}是递减数列，

∴an＞an+1，

∴-2n2+λn-9＞-2（n+1）2+λ（n+1）-9，

化为：λ＜4n+2，

∴λ＜6，

故答案为：λ＜6．

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题型：填空题

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填空题

数列{an}满足a1＞1，an+1-1=an（an-1），（n∈N+），且 =2，则a2013-4a1的最小值为______．

正确答案

解析

解：a1＞1，由an+1-1=an（an-1），（n∈N+）知，对所有n，an＞1，

等式两边取倒数，得=，得，

=-，

则==2

整理可得，a2013=，

a2013-4a1=2（3-2a1）+-≥2-=．

则a2013-4a1的最小值为．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知数列{an}中，an=，则数列{an}中的最大项为第______项．

正确答案

502

解析

解：an==，

当n∈[1，502]时，an单调递增；当n≥503时，an单调递减．

因此当n=502时，数列{an}取得最大值．

故答案为：502．

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题型：填空题

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填空题

数列{an}的前n项和为，则a5+a6=______．

正确答案

解析

解：∵

∴a5+a6=S6-S4=

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

数列{an}的前项和为，则该数列的通项公式为______．

正确答案

解析

解：当n=1时，a1=S1=2-1+2=3；

当n≥2时，

n=Sn-Sn-1=2n2-n+2-[2（n-1）2-（n-1）+2]=4n-3．

∴该数列的通项公式为．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

若数列{an}满足+=k（k为常数），则称数列{an}为等比和数列，k称为公比和，已知数列{an}是以3为公比和的等比和数列，其中a1=1，a2=2，则a2013=______．

正确答案

21006

解析

解：由，可得a3=2；

由，可得a4=4；

由，可得a5=4；

由，可得a6=8；

由，得a7=8；

…

据此，可得a2013=a2012=21006．

故答案为：21006．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•宜春校级月考）已知数列，，，，…，，…，则5是这个数列的（　　）

A第12项

B第13项

C第14项

D第25项

正确答案

A

解析

解：由=5，解得n=12．

∴5是这个数列的第12项，

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

已知无穷数列{an}的前n项和公式为（n∈N+）则Sn（　　）

A有最小值42

B有最大值204

C有最大值504

D无最大值也无最小值

正确答案

C

解析

解：当n=1时，a1=S1=-2+21+23=42．

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2n3+21n2+23n-[-2（n-1）3+21（n-1）2+23（n-1）]

=-6n2+48n，

当n=1时，上式也成立．

∴．

令an≥0，解得n≤8．

∴数列{an}的前7或8项的和最大．

S8=S7=-2×73+21×72+23×7=504．

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

数列{an}满足：a1=2，an=1-（n=2，3，4，…），若数列{an}有一个形如an=sin（ωn+φ）+的通项公式，其中ω、φ均为实数，且ω＞0、|φ|＜，则ω=______，φ=______．

正确答案

，

解析

解：∵a1=2，∴=．

∵数列{an}有一个形如an=sin（ωn+φ）+的通项公式，

∴，

又ω＞0、|φ|＜，

解得ω=，φ=-；或=φ．

故答案分别为：，-．或=φ．

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题型：单选题

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单选题

定义：在数列{an}中，an＞0，且an≠1，若为定值，则称数列{an}为“等幂数列”．已知数列{an}为“等幂数列”，且a1=2，a2=4，Sn为数列{an}的前n项和，则S2011等于（　　）

A6032

B6030

C2

D4

正确答案

A

解析

解：=，即24=，所以a3=2．

同理得a4=4，a5=2，这是一个周期数列．

所以S2011=×（2+4）+2=6032．

故选A．

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题型：简答题

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简答题

设数列{an}的前项的和3Sn=（an-1），（n∈N*）．

（1）求a1；a2；

（2）求数列{an}的通项公式．

正确答案

解：（1）当n=1时，3a1=a1-1，解得．

当n=2时，3（a1+a2）=a2-1，解得a2=．

（2）当n≥2时，∵3Sn=an-1，3Sn-1=an-1-1，

∴两式作差得：3an=an-an-1，

∴．

∴数列{an}是等比数列，首项为，公比为．

∴=．

解析

解：（1）当n=1时，3a1=a1-1，解得．

当n=2时，3（a1+a2）=a2-1，解得a2=．

（2）当n≥2时，∵3Sn=an-1，3Sn-1=an-1-1，

∴两式作差得：3an=an-an-1，

∴．

∴数列{an}是等比数列，首项为，公比为．

∴=．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•抚州校级期中）{an}的通项公式为an=-n+p，{bn}的通项公式为，设，若在数列{cn}中，c9＞cn，n∈N*，n≠9，则实数p的取值范围是______．

正确答案

17＜p＜26

解析

解：当an≤bn时，cn=an，当an＞bn时，cn=bn，∴cn是an，bn中的较小者，

因为an=-n+p，所以{an}是递减数列；因为bn=2n-5，所以{bn}是递增数列，

因为c9＞cn（n≠9），所以c9是cn的最大者，

则n=1，2，3，…7，8，9时，cn递增，n=9，10，…时，cn递减，

因此，n=1，2，3，…7，8时，2n-5＜-n+p总成立，

当n=8时，28-5＜-8+p，∴p＞16，

n=9，10，11，…时，2n-5＞-n+p总成立，

当n=10时，210-5＞-9+p，成立，∴p＜41，

而c9=a9或c9=b9，

若a9≤b9，即29-5≥p-9，所以p≤25，

则c9=a9=p-9，

∴p-9＞b8=28-5，∴p＞17，

若a9＞b9，即p-9＞29-5，所以p＞25，

∴c9=b9=24=16，

那么c9＞c10=a10，即16＞p-10，

∴p＜26，

故17＜p＜26．

故答案为：17＜p＜26

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=，设an=f（n）（n∈N+），

（1）求证：an＜1；

（2）{an}是递增数列还是递减数列？为什么？

正确答案

（1）证明　an=f（n）==1-＜1．

（2）解：∵an+1-an=-=（1-）-（1-）=＞0，

∴an+1＞an，

∴{an}是递增数列．

解析

（1）证明　an=f（n）==1-＜1．

（2）解：∵an+1-an=-=（1-）-（1-）=＞0，

∴an+1＞an，

∴{an}是递增数列．

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